18 Teoría de Valores Extremos (EVT)
Los Capítulos 13 y 14 dejaron clara una limitación de los métodos de VaR e histórico o normal: describen razonablemente bien el riesgo típico, pero cuando se pide un umbral de pérdida extraordinariamente raro —el que se supera, digamos, una vez cada varios años—, el histórico se queda sin datos suficientes en esa zona de la distribución, y el normal, ya sabemos desde el Capítulo 13, subestima las colas. Este último capítulo introduce una familia de herramientas diseñada específicamente para ese problema: la Teoría de Valores Extremos (EVT), que en lugar de intentar describir toda la distribución de la rentabilidad, se concentra exclusivamente en su cola, apoyándose en resultados matemáticos que —de forma análoga a como el teorema central del límite describe el comportamiento de las sumas de variables aleatorias con independencia casi total de su distribución de partida— describen el comportamiento de los máximos (o, en nuestro caso, de las pérdidas más extremas) con esa misma independencia del detalle de la distribución subyacente.
18.1 El teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko y la distribución GEV
Sea \(M_n=\max(X_1,\dots,X_n)\) el máximo de \(n\) variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas —en nuestro caso, la mayor pérdida diaria dentro de un bloque de \(n\) sesiones—. Fisher y Tippett (1928) demuestran un resultado notable: si \(M_n\), convenientemente normalizado, converge en distribución a algún límite no degenerado, ese límite solo puede pertenecer a una de tres familias posibles, unificadas en la distribución generalizada de valores extremos (GEV):
\[G(x) = \exp\left\{-\Big[1+\xi\Big(\frac{x-\mu}{\sigma}\Big)\Big]^{-1/\xi}\right\},\]
con \(\mu\) un parámetro de posición, \(\sigma>0\) de escala, y \(\xi\) el parámetro de forma, que determina cuál de los tres “dominios de atracción” clásicos gobierna la cola: \(\xi>0\) da la familia de Fréchet, de cola pesada tipo Pareto —la que se observa, casi sin excepción, en las series financieras—; \(\xi=0\) (en el límite) da la Gumbel, de cola exponencialmente ligera; y \(\xi<0\) da la Weibull, con un límite superior finito para la variable. Que exista un único marco —la GEV— capaz de albergar los tres comportamientos, sin necesidad de suponer de antemano cuál de ellos aplica a los datos, es la razón por la que este resultado ha resultado tan útil en la práctica: el propio \(\xi\), estimado de los datos, revela qué tipo de cola tiene la serie, en lugar de imponerlo el analista de antemano.
18.2 Método de máximos por bloques
El teorema anterior sugiere directamente un procedimiento de estimación: dividir la muestra en bloques (por ejemplo, meses), calcular la pérdida máxima dentro de cada bloque, y ajustar una GEV a esa serie de máximos por máxima verosimilitud.
Sobre 397 bloques mensuales (Figura 18.1), el ajuste da \(\hat\mu=\) 0.0173, \(\hat\sigma=\) 0.0089 y, sobre todo, \(\hat\xi=\) 0.1777 (error típico 0.0408). Con un cociente \(\hat\xi/\text{se}(\hat\xi)\approx\) 4.4, el parámetro de forma es claramente positivo y significativamente distinto de cero: el IBEX 35 pertenece al dominio de atracción de Fréchet, de cola pesada —coherente, por una vía completamente distinta, con la leptocurtosis y los grados de libertad bajos de la t de Student que ya encontramos en el Capítulo 13—.
El modelo GEV permite además calcular niveles de retorno: la pérdida diaria máxima mensual que se espera superar, en promedio, una vez cada \(T\) bloques. A un año vista (\(T=12\)), el nivel de retorno es del 4.45%; a diez años (\(T=120\)), del 8.44%. Conviene, sin embargo, no perder de vista sus límites: la peor pérdida diaria realmente observada en algún mes de toda la muestra fue del 15.15%, muy por encima incluso del nivel de retorno a diez años que el modelo predice. No es una contradicción del modelo, sino un recordatorio de humildad: treinta años de historia siguen siendo una muestra finita, y un solo episodio verdaderamente extraordinario —el que en la práctica marca el peor día de toda la serie— puede quedar, con toda naturalidad, por encima de lo que cualquier modelo estimado con esos mismos treinta años habría anticipado como “razonablemente extremo”.
18.3 Peaks-over-threshold y la distribución de Pareto generalizada
El método de máximos por bloques tiene un defecto: descarta mucha información. Si un mes concreto tuvo dos caídas fortísimas y otro mes tuvo solo una moderada, el método solo se queda con el máximo de cada uno, ignorando que ese segundo día extremo del primer mes también era, en términos absolutos, una pérdida muy severa. El método alternativo, Peaks-over-Threshold (POT), aprovecha todas las observaciones que superan un umbral alto \(u\), en lugar de solo un máximo por bloque. El resultado teórico que lo sostiene es el de Pickands (1975): condicionado a que una pérdida \(X\) supere el umbral \(u\), el exceso \(X-u\) converge, cuando \(u\) es suficientemente alto, a una distribución de Pareto generalizada (GPD),
\[H(y) = 1-\Big(1+\xi\frac{y}{\sigma_u}\Big)^{-1/\xi}, \qquad y>0,\]
con el mismo parámetro de forma \(\xi\) que en la GEV —no es casualidad: ambos resultados, el de bloques y el de umbral, son dos caras del mismo teorema fundamental— y una escala \(\sigma_u\) que sí depende del umbral elegido.
La elección del umbral \(u\) es, en la práctica, un compromiso: demasiado bajo, y la aproximación teórica de Pickands deja de ser fiable porque se incluyen observaciones que no son, realmente, extremas; demasiado alto, y quedan tan pocas excedencias que la estimación se vuelve muy imprecisa. Usamos aquí el percentil 95 de las pérdidas diarias como umbral —una elección habitual en la práctica—, lo que deja \(u=\) 2.17% y \(N_u=\) 418 excedencias (el 5% de la muestra, por construcción). El ajuste de la GPD da \(\hat\xi=\) 0.1553 (error típico 0.0536), prácticamente idéntico al \(\hat\xi=\) 0.1777 obtenido por máximos por bloques en la sección anterior —dos métodos distintos, aplicados sobre subconjuntos distintos de los mismos datos, convergiendo al mismo diagnóstico de cola pesada tipo Fréchet—.
18.4 VaR y ES extremos
Con la GPD ajustada sobre las excedencias del umbral \(u\), se puede invertir la función de distribución para obtener una fórmula cerrada del VaR a cualquier nivel de confianza \(1-\alpha\), incluso para valores de \(\alpha\) tan pequeños que ni una sola observación de la muestra los alcanzaría directamente:
\[\text{VaR}_\alpha = u + \frac{\sigma_u}{\xi}\left[\left(\frac{n}{N_u}\,\alpha\right)^{-\xi}-1\right], \qquad \text{ES}_\alpha = \frac{\text{VaR}_\alpha}{1-\xi} + \frac{\sigma_u-\xi u}{1-\xi}.\]
Calculamos el VaR y el ES al 99.9% —un umbral de pérdida que se espera superar, aproximadamente, 1 de cada 1.000 sesiones, algo así como una vez cada cuatro años de negociación—, comparando el resultado con los métodos histórico y normal del Capítulo 14 al mismo nivel.
| Método | Pérdida (%) |
|---|---|
| Normal (Cap. 14) | 4.24 |
| Histórico (Cap. 14) | 7.09 |
| EVT — GPD (VaR) | 7.19 |
| EVT — GPD (ES) | 9.22 |
El VaR normal (4.24%) vuelve a quedarse muy corto, exactamente como en el Capítulo 14 al 99%, y aquí con más motivo todavía: a un nivel de confianza tan extremo, la normal ya ni siquiera está en el orden de magnitud correcto. El VaR histórico (7.09%) y el VaR de la GPD (7.19%) coinciden razonablemente bien —con 8.357 observaciones, el percentil 0.1% empírico todavía se apoya en un puñado de datos reales, así que el histórico no está del todo a ciegas—, pero la ventaja de la EVT no está tanto en este nivel de confianza concreto como en su capacidad de extrapolar más allá de la muestra: si se pidiera el VaR al 99.99% (1 de cada 10.000 sesiones, un horizonte de varias décadas), el histórico se quedaría sin ninguna observación en la que apoyarse, mientras que la fórmula de la GPD —apoyada en el teorema de Pickands, no en contar datos— sigue produciendo una estimación con fundamento teórico. Y solo la EVT ofrece, además, un Expected Shortfall en esta región de la distribución: ni el histórico ni el normal, en la práctica, tienen suficientes observaciones más allá del VaR al 99.9% como para promediarlas de forma fiable.
Como cierre del capítulo y del bloque financiero del manual, merece la pena repetir la advertencia de la Sección 18.2: la peor pérdida diaria observada en toda la historia del IBEX (15.15%, el mismo dato de la sección de máximos por bloques) sigue superando a las estimaciones EVT de esta sección. Ni el modelo más sofisticado de este manual sustituye a la prudencia: la teoría de valores extremos ofrece el mejor fundamento estadístico disponible para razonar sobre lo improbable, pero “improbable” no es sinónimo de “imposible”, y ningún modelo, por bien fundamentado que esté, puede garantizar que el próximo episodio extremo se comporte como los que ya conocemos.
18.5 Ejercicios propuestos
- Ajuste una GEV por máximos por bloques trimestrales (en lugar de mensuales) sobre las pérdidas del IBEX. Compare el \(\hat\xi\) obtenido con el de la Sección 18.2. ¿Es sensible la conclusión sobre el tipo de cola al tamaño del bloque elegido?
- Repita el ajuste GPD de la Sección 18.3 con un umbral en el percentil 90 en lugar del 95. ¿Cambia sustancialmente \(\hat\xi\)? ¿Qué le sugiere sobre la estabilidad de la estimación frente a la elección del umbral?
- Calcule el VaR y el ES extremos (Sección 18.4) al 99.5% en lugar del 99.9%, y compárelos con el VaR histórico al mismo nivel. ¿Se mantiene la conclusión de que ambos coinciden razonablemente bien a niveles de confianza no demasiado extremos?
- Ajuste una GEV por máximos por bloques mensuales sobre el EUR/USD (
data/EURUSD_X.xlsx). Compare su \(\hat\xi\) con el del IBEX. ¿Tiene el tipo de cambio una cola tan pesada como la bolsa?
18.6 Soluciones de los ejercicios
1. Bloques trimestrales frente a mensuales. El \(\hat\xi\) con bloques trimestrales es 0.2265, frente a 0.1777 con bloques mensuales. La conclusion cualitativa -cola tipo Frechet, xi positivo- se mantiene, con una diferencia moderada achacable a tener muchos menos bloques (y por tanto menos precision) al pasar a trimestral; con menos bloques (133 frente a 397) la estimación es, en cualquier caso, menos precisa.
2. Umbral en el percentil 90. Con este umbral más bajo, \(\hat\xi=\) 0.1196, frente a 0.1553 con el percentil 95. La estimacion es razonablemente estable frente a la eleccion del umbral en este rango, algo que conviene comprobar siempre — mediante lo que en la práctica se llama un gráfico de estabilidad del parámetro de forma frente a distintos umbrales— antes de confiar en un único ajuste GPD.
3. VaR y ES al 99.5%. El VaR EVT es 4.75% y el histórico 4.67%: SI coinciden mejor que al 99.9%, confirmando que a niveles menos extremos el metodo historico todavia dispone de suficientes datos propios.
4. GEV sobre el EUR/USD. El \(\hat\xi\) del EUR/USD es 0.2604, frente al 0.1777 del IBEX. El tipo de cambio tiene una cola tan pesada, o mas, que la bolsa, coherente con la comparación de curtosis del Capítulo 13 entre ambas series.
El código de este capítulo está en
scripts/T18_mST_Script_ValoresExtremos.R(guion teórico) yscripts/T18_mST_CP_Financiero.R(caso práctico con el IBEX 35).