13 Hechos Estilizados de las Series Financieras
El Capítulo 9 introdujo los modelos ARCH y GARCH motivados por dos observaciones sobre el IBEX 35: la varianza del rendimiento no es constante, y los choques negativos la elevan más que los positivos. Este capítulo da un paso atrás y sitúa esas dos observaciones dentro de un catálogo más amplio y, cabe destacar, casi universal: un conjunto de regularidades estadísticas que Cont (2001) denominó hechos estilizados, y que aparecen, con sorprendente consistencia, en prácticamente cualquier serie de rentabilidades financieras —acciones, índices, divisas, materias primas— con independencia del mercado, del activo o de la época. Cuantificamos aquí, con datos reales del IBEX 35, cuánto se aparta la distribución de sus rentabilidades de la normal, cómo esa anomalía se atenúa al agregar en el tiempo, y examinamos dos afirmaciones populares —el efecto día de la semana y el efecto enero— con el mismo rigor estadístico que el resto del manual, sin darlas por buenas de antemano.
13.1 Rentabilidades logarítmicas: un recordatorio necesario
Como ya vimos en el Capítulo 9, trabajamos con la rentabilidad logarítmica, \(r_t = \log(P_t) - \log(P_{t-1})\), en lugar de con el precio \(P_t\) directamente. Dos razones lo justifican, y conviene tenerlas presentes antes de catalogar los hechos estilizados: primero, \(r_t\) es aproximadamente estacionaria —el precio de un índice bursátil no lo es, como cualquier proceso con raíz unitaria del Capítulo 4—, condición necesaria para que tenga sentido hablar de “la distribución” de la rentabilidad como algo estable en el tiempo; segundo, las rentabilidades logarítmicas son aditivas en el tiempo (\(r_{t}+r_{t+1}\) es la rentabilidad logarítmica del periodo conjunto), lo que simplificará la agregación temporal de la Sección 13.4.
13.2 Colas gruesas: leptocurtosis y no-normalidad
La hipótesis más elemental sobre la distribución de una rentabilidad financiera —que sigue una normal, como asumía el modelo de paseo aleatorio browniano de Bachelier— se rechaza, sistemáticamente, en cualquier serie financiera real, un hecho documentado ya por Mandelbrot (1963) y Fama (1965) mucho antes de que existieran los modelos GARCH del Capítulo 9. La discrepancia se mide con dos momentos estandarizados de orden superior: la asimetría (skewness), \(\text{Asim}=E[(r-\mu)^3]/\sigma^3\), que mide si la distribución es simétrica (\(\text{Asim}=0\)) o tiene una cola más larga a un lado; y la curtosis (kurtosis), \(\text{Curt}=E[(r-\mu)^4]/\sigma^4\), que mide el peso de las colas y del centro de la distribución frente a sus hombros. Una normal tiene, exactamente, \(\text{Curt}=3\); por eso se suele hablar de exceso de curtosis, \(\text{Curt}-3\), con valores positivos indicando una distribución leptocúrtica: más apuntada en el centro y con colas más pesadas que la normal —hay más días de rentabilidad casi nula y, a la vez, más días de rentabilidad extrema de los que una normal predeciría—.
Sobre las 8.357 sesiones del IBEX 35, la asimetría es -0.329 —negativa, coherente con el efecto apalancamiento que ya cuantificamos en el Capítulo 9: las caídas fuertes son, en magnitud, más extremas que las subidas fuertes— y la curtosis es 10.54, es decir, un exceso de curtosis de 7.54: la distribución del rendimiento del IBEX es muchísimo más leptocúrtica que una normal, algo que la Figura 13.1 hace evidente a simple vista en el pico central y en las colas. El contraste de Jarque-Bera —que combina asimetría y curtosis muestrales en un único estadístico, bajo la hipótesis nula de normalidad— lo confirma formalmente: \(\text{JB}=\) 19.954, con un p-valor indistinguible de cero. La hipótesis de normalidad se rechaza sin ningún género de duda.
Si la normal no describe bien estas colas, ¿qué distribución sí lo hace? Dos alternativas, ambas ya disponibles en rugarch desde el Capítulo 9, son estándar en la práctica: la t de Student estandarizada, cuyos grados de libertad \(\nu\) controlan directamente el peso de la cola —cuanto menor \(\nu\), más pesada la cola, y \(\nu\to\infty\) recupera la normal—; y la GED (Generalized Error Distribution), cuyo parámetro de forma \(\kappa\) cumple el mismo papel (\(\kappa=2\) es la normal, \(\kappa<2\) implica colas más pesadas). Ajustando ambas por máxima verosimilitud a los rendimientos del IBEX: la t de Student estima \(\hat\nu=\) 3.7 —un valor bajo, cercano al límite \(\nu=4\) por debajo del cual la propia curtosis teórica de la t deja de estar definida, un indicio más de lo extremas que son las colas—, y la GED estima \(\hat\kappa=\) 1.067, muy por debajo de 2: ambos ajustes coinciden en la misma conclusión por caminos distintos.
13.3 Gaussianidad agregada
Un hecho estilizado menos conocido, pero igual de robusto empíricamente, es que la falta de normalidad se atenúa —sin llegar a desaparecer del todo— a medida que se agregan las rentabilidades en horizontes más largos. La intuición es la misma que subyace al teorema central del límite: una rentabilidad mensual es, aproximadamente, la suma de veinte rentabilidades diarias, y la suma de variables aleatorias tiende a parecerse más a una normal que cada sumando por separado, salvo que exista una dependencia fuerte entre esos sumandos que lo impida —lo que, como veremos en la sección siguiente, es exactamente lo que ocurre con la volatilidad—.
| Frecuencia | N observaciones | Curtosis |
|---|---|---|
| Diaria | 8357 | 10.54 |
| Semanal | 1734 | 9.14 |
| Mensual | 397 | 5.03 |
La curtosis cae de 10.5 en frecuencia diaria a 5 en frecuencia mensual —una caída sustancial, acercándose visiblemente al 3 de la normal, aunque sin llegar a alcanzarlo del todo ni siquiera a un mes vista—. Este patrón, la gaussianidad agregada, es uno de los argumentos empíricos que justifican que muchos modelos de valoración de opciones y de gestión de carteras a horizontes largos sigan apoyándose en la aproximación normal, pese a que esa misma aproximación sea claramente inadecuada a la frecuencia diaria con la que trabajamos en este bloque del manual.
13.4 Ausencia de autocorrelación lineal y agrupamiento de volatilidad
El Capítulo 9 ya mostró, en su Figura 9.2, la asimetría central de las series financieras: el rendimiento en sí apenas muestra autocorrelación, pero su cuadrado —una medida elemental de la magnitud del movimiento diario, sin importar el signo— muestra una dependencia fuerte y persistente, la agrupación de volatilidad que motivó los modelos ARCH y GARCH. La Figura 13.2 retoma esa idea con el valor absoluto del rendimiento, \(|r_t|\), y a muchos más retardos que en el Capítulo 9, para hacer visible un matiz que entonces no hacía falta: la autocorrelación de \(|r_t|\) no solo es significativa, sino que decae muy despacio, permaneciendo por encima de la banda de significatividad incluso a un año vista (250 retardos).
Un GARCH(1,1) simple, como el del Capítulo 9, predice una autocorrelación que decae geométricamente con el retardo —de forma tan rápida que, técnicamente, en unos pocos cientos de retardos ya sería indistinguible de cero—; lo que la Figura 13.2 muestra se parece más a una caída hiperbólica, mucho más lenta, un patrón asociado a lo que la literatura llama memoria larga en la volatilidad. No profundizamos en esta distinción aquí —el Capítulo 16 le dedica un tratamiento formal completo, con el exponente de Hurst y los modelos ARFIMA y FIGARCH—, pero conviene dejar planteada la pregunta ahora, en el momento en que el patrón se hace visible por primera vez: la agrupación de volatilidad del Capítulo 9 no es solo “volatilidad alta seguida de volatilidad alta durante unos días”, sino un fenómeno con una persistencia mucho más profunda de lo que un GARCH(1,1) puede capturar del todo.
13.5 El efecto apalancamiento
El Capítulo 9 cuantificó también la asimetría de la respuesta de la volatilidad al signo del choque —el efecto apalancamiento (leverage effect)—, con el EGARCH y el GJR-GARCH y sus curvas de impacto de noticias: un choque negativo de dos desviaciones típicas elevaba la varianza condicional del día siguiente mucho más que un choque positivo de la misma magnitud. Lo recuperamos aquí solo como recordatorio de que forma parte, junto con la leptocurtosis, la gaussianidad agregada y la memoria larga en la volatilidad, del mismo catálogo de hechos estilizados: ninguno de estos fenómenos es una peculiaridad del IBEX 35 en particular, sino una regularidad que —salvo excepciones puntuales— se repite en la inmensa mayoría de las series financieras que se han estudiado empíricamente (Cont 2001).
13.6 Efectos de calendario
Una familia distinta de afirmaciones sobre las series financieras, popular en la prensa económica y en parte de la literatura más antigua, son los efectos de calendario: patrones sistemáticos en la rentabilidad media asociados al día de la semana o al mes del año, que, de existir y ser explotables, contradirían la forma más débil de la hipótesis de eficiencia de mercado. Los examinamos aquí con el mismo rigor que cualquier otro contraste del manual, sin presuponer el resultado.
| Día | Rendimiento medio (%) | N |
|---|---|---|
| lunes | -0.0346 | 1649 |
| martes | 0.0758 | 1692 |
| miércoles | 0.0209 | 1686 |
| jueves | 0.0217 | 1680 |
| viernes | 0.0291 | 1650 |
French (1980) documentó, sobre datos de EE. UU. de mediados del siglo XX, un efecto día de la semana: rentabilidades sistemáticamente negativas los lunes. La Cuadro 13.2 muestra, a primera vista, un patrón similar en el IBEX —el lunes es, de los cinco días, el de menor rentabilidad media, incluso negativa—, pero conviene contrastarlo formalmente antes de darlo por real, en lugar de quedarse con la primera impresión visual.
Un análisis de la varianza (ANOVA) sobre la rentabilidad media según el día de la semana da un p-valor de 0.25: no se rechaza la hipótesis de que la rentabilidad media es igual todos los días de la semana. La diferencia visual de la tabla —el lunes por debajo del resto— es, estadísticamente, indistinguible del ruido muestral una vez se tiene en cuenta la enorme dispersión día a día de una serie tan volátil como el IBEX. Lo mismo ocurre con el efecto enero —la hipótesis, también clásica, de que enero ofrece rentabilidades sistemáticamente distintas al resto del año, a menudo asociada a reajustes de cartera de fin de ejercicio—: la rentabilidad media de enero es 0.0375% frente a 0.0215% el resto de meses, y un contraste t de diferencia de medias da un p-valor de 0.761, muy lejos de cualquier umbral habitual de significatividad.
Ninguno de los dos efectos de calendario clásicos sobrevive, por tanto, al contraste formal sobre el IBEX 35 en la muestra completa disponible (1993-2026). Esto no invalida los hallazgos históricos de French y otros autores de su época: es coherente, más bien, con un fenómeno bien documentado en la literatura financiera posterior, el de las anomalías que se erosionan con el tiempo —en cuanto un patrón predecible en la rentabilidad se hace público y suficientemente conocido, los propios participantes del mercado, al intentar explotarlo, tienden a hacerlo desaparecer—. Es un buen ejemplo, para cerrar el capítulo, de por qué “hecho estilizado” y “estrategia de inversión rentable” no son sinónimos: los primeros —colas gruesas, agrupación de volatilidad, apalancamiento— han demostrado ser extraordinariamente estables durante décadas y across mercados; los segundos, con frecuencia, no.
13.7 Ejercicios propuestos
- Calcule la asimetría y la curtosis del rendimiento del EUR/USD (
data/EURUSD_X.xlsx, léalo condesk_returns("EURUSD_X")) y compárelas con las del IBEX 35 de este capítulo. ¿Son también leptocúrticas las rentabilidades de un tipo de cambio? - Ajuste una distribución t de Student a los rendimientos del EUR/USD y compare sus grados de libertad estimados con los 3.7 del IBEX. ¿Qué serie tiene colas más pesadas?
- Repita la tabla de gaussianidad agregada (Sección 13.4) para el EUR/USD. ¿Se observa también el patrón de atenuación de la curtosis al agregar en el tiempo?
- Divida la muestra del IBEX en dos submuestras —antes y después de 2010— y repita el contraste ANOVA del efecto día de la semana en cada una por separado. ¿Hay evidencia de que el efecto fuera más fuerte en la submuestra más antigua?
13.8 Soluciones de los ejercicios
1. Asimetría y curtosis del EUR/USD. La asimetría es 0.55 y la curtosis 102.88 (exceso de 99.88): tambien leptocurtica, aunque en menor grado que el IBEX. Las colas gruesas no son, por tanto, un fenómeno exclusivo de la renta variable, coherente con lo que el Capítulo 9 ya encontró al replicar el contraste LM del efecto ARCH sobre este mismo tipo de cambio.
2. Grados de libertad de la t de Student: IBEX frente a EUR/USD. El EUR/USD estima \(\hat\nu=\) 4.18, frente a 3.7 del IBEX. El EUR/USD tiene colas MENOS pesadas que el IBEX (mayor nu), coherente con la comparación directa de curtosis del ejercicio 1.
3. Gaussianidad agregada en el EUR/USD. La curtosis pasa de 102.88 (diaria) a 5.34 (semanal) y 4.86 (mensual): el mismo patrón de atenuación que en el IBEX, aunque partiendo de un exceso de curtosis inicial distinto. La gaussianidad agregada parece, con esta evidencia, un hecho estilizado robusto a través de clases de activos distintas, no una peculiaridad de la renta variable.
4. Efecto día de la semana: antes y después de 2010. El p-valor del ANOVA es 0.351 en la submuestra 1993-2009 y 0.244 en 2010-2026. El efecto no era significativo en ninguna de las dos submuestras: en el IBEX, a diferencia de los datos originales de French, no hay evidencia de que existiera siquiera en el pasado.
El código de este capítulo está en
scripts/T13_mST_Script_HechosEstilizados.R(guion teórico) yscripts/T13_mST_CP_Financiero.R(caso práctico con el IBEX 35).