| Especificación | theta1 | AIC |
|---|---|---|
| MA(1) sobre diff(log(PIB)), con media (Cap. 3) | -0.2135 | -535.5704 |
| ARIMA(0,1,1) sobre log(PIB), SIN deriva | -0.1472 | -530.6458 |
| ARIMA(0,1,1) sobre log(PIB), CON deriva | -0.2135 | -535.5704 |
5 Metodología Box-Jenkins: Modelos ARIMA
Los tres capítulos anteriores construyeron, sin decirlo abiertamente, todas las piezas de un modelo ARIMA: el Capítulo 2 estableció que \(\log(\text{PIB})\) es no estacionario y \(\Delta\log(\text{PIB})\) sí; el Capítulo 3 ajustó un MA(1) sobre esa serie ya diferenciada; el Capítulo 4 confirmó formalmente, con contrastes de raíz unitaria, que el orden de diferenciación necesario es \(d=1\). Este capítulo une las tres piezas: define el modelo ARIMA(p,d,q), que integra la diferenciación dentro de la propia especificación, formaliza la metodología de Box-Jenkins como un proceso iterativo de cuatro etapas, y añade un elemento nuevo que no habíamos abordado todavía —la predicción— cerrando el ciclo completo de la modelización de series temporales univariantes.
5.1 De ARMA a ARIMA: la diferenciación
Un proceso \(Y_t\) sigue un modelo ARIMA(p,d,q) si su diferencia de orden \(d\), \(\Delta^d Y_t\), sigue un ARMA(p,q):
\[\phi(L)\,(1-L)^d\,Y_t = c + \theta(L)\,\varepsilon_t.\]
La ventaja frente a diferenciar “a mano” y ajustar después un ARMA —que es exactamente lo que hicimos en el Capítulo 3— es que el modelo ARIMA opera directamente sobre la serie en niveles, sin perder la escala original, y genera predicciones ya en esa escala. Pero esta comodidad esconde una trampa habitual: al diferenciar, la media de la serie original se convierte en la deriva (drift) de la serie diferenciada, y hay que decirle explícitamente al software que la incluya.
La Cuadro 5.1 lo muestra con números: el ARIMA(0,1,1) estimado con deriva (include.drift = TRUE) reproduce exactamente el MA(1) del Capítulo 3 —mismo \(\hat\theta_1\), mismo AIC—, mientras que la versión sin deriva converge a un parámetro distinto y con peor ajuste. La razón es sencilla: \(\Delta\log(\text{PIB})\) tiene una media positiva (la tasa de crecimiento media, en torno al 0,5% trimestral); forzar deriva nula equivale a imponer, sin justificación, que el PIB no crece en promedio. La lección práctica: siempre hay que decidir explícitamente si el modelo necesita deriva, nunca dejarlo al valor por defecto sin pensarlo.
5.2 Estrategia Box-Jenkins
La metodología de Box y Jenkins (2015) organiza la construcción de un modelo ARIMA en cuatro etapas iterativas: identificar un modelo tentativo, estimarlo, validarlo y, si supera la validación, emplearlo para predecir; si no la supera, se vuelve a la identificación con la información adicional que ha aportado el fallo.
5.2.1 Identificación
Identificar un ARIMA(p,d,q) exige decidir tres números. El orden de diferenciación \(d\) se determina con los contrastes de raíz unitaria del Capítulo 4: ADF, PP y KPSS coincidieron en que \(\log(\text{PIB})\) requiere exactamente una diferencia, \(d=1\). Los órdenes \(p\) y \(q\) se leen del correlograma de la serie ya diferenciada: en el Capítulo 3 (Figura 3.3) vimos que la FAC y la FACP de \(\Delta\log(\text{PIB})\) solo destacan en el retardo 1 —firma de un MA(1)—, confirmado después por el barrido de AIC/BIC sobre varias especificaciones candidatas (Cuadro 3.4). El modelo tentativo para \(\log(\text{PIB})\) es, por tanto, un ARIMA(0,1,1) con deriva.
5.2.2 Estimación
| Parámetro | Estimación | Error típico |
|---|---|---|
| theta1 | -0.2135 | 0.0908 |
| deriva | 0.0049 | 0.0017 |
La estimación (Cuadro 5.2) reproduce, como ya se ha dicho, la del Capítulo 3: \(\hat\theta_1 =\) -0.214, deriva \(\hat{} =\) 0.0049 (una tasa de crecimiento media del 0.49% trimestral).
5.2.3 Validación
Un modelo válido debe dejar residuos indistinguibles del ruido blanco —sin autocorrelación— y, idealmente, aproximadamente normales, para que los intervalos de predicción basados en la distribución gaussiana sean fiables. Conviene además comprobar que el modelo es parsimonioso: que especificaciones ligeramente más complejas (un AR o MA adicional) no mejoran sustancialmente el AIC/BIC, como ya hicimos en el Capítulo 3. La sección “Diagnóstico de residuos”, más adelante en este mismo capítulo, desarrolla en detalle esta validación para el modelo que acabamos de estimar.
5.2.4 Predicción
Antes de mostrar cómo se calcula una predicción, conviene detenerse un momento en por qué se calcula del modo en que vamos a hacerlo, porque no es una convención arbitraria: es, literalmente, la mejor predicción posible según un criterio preciso. Sea \(\Omega_T\) toda la información disponible hasta el instante \(T\) (en la práctica, el historial completo de la serie), y sea \(g(\Omega_T)\) cualquier función de esa información que usemos para predecir \(Y_{T+h}\) —no necesariamente la que usaremos nosotros—. Decimos que una predicción es óptima si minimiza el error cuadrático medio de predicción,
\[\text{ECMP}(g) = E\big[(Y_{T+h}-g(\Omega_T))^2\big].\]
Un resultado clásico de la teoría de la predicción establece que la función \(g\) que minimiza esta cantidad es, precisamente, la esperanza condicionada al conjunto de información disponible, \(g^*(\Omega_T) = E[Y_{T+h}\mid\Omega_T]\). La demostración es una descomposición sencilla: para cualquier \(g\),
\[E\big[(Y_{T+h}-g)^2\big] = E\big[(Y_{T+h}-E[Y_{T+h}\mid\Omega_T])^2\big] + E\big[(E[Y_{T+h}\mid\Omega_T]-g)^2\big],\]
porque el término cruzado que aparece al desarrollar el cuadrado se anula (es una propiedad de la esperanza condicionada: el error \(Y_{T+h}-E[Y_{T+h}\mid\Omega_T]\) no está correlacionado con nada que dependa únicamente de \(\Omega_T\), y \(g\) depende solo de \(\Omega_T\)). El primer sumando de la derecha no depende de \(g\); el segundo es un cuadrado, y por tanto siempre positivo o nulo, y se anula precisamente cuando \(g=E[Y_{T+h}\mid\Omega_T]\). Por tanto, ninguna función \(g\) puede hacer el ECMP más pequeño que el que se obtiene con la esperanza condicionada: es, por construcción, la mejor predicción posible bajo este criterio.
En general, calcular esa esperanza condicionada exacta puede ser complicado. Pero bajo el supuesto que venimos manteniendo desde el Capítulo 3 —innovaciones gaussianas, \(\varepsilon_t\sim N(0,\sigma^2)\)—, puede demostrarse que la esperanza condicionada de un proceso ARMA es, además, una función lineal de la información pasada. Esto es una buena noticia: significa que la predicción óptima es exactamente el tipo de cálculo —una combinación lineal de valores y errores pasados— que la propia ecuación del modelo ya nos permite hacer, sin necesidad de ningún aparato adicional. En la práctica, el modelo genera esa predicción óptima por recursión: la predicción a \(h\) pasos, \(\hat Y_{T+h|T}\) (léase “la predicción de \(Y\) en \(T+h\), hecha con la información disponible hasta \(T\)”), se calcula sustituyendo en la ecuación del modelo los valores futuros del error por su esperanza (cero, que es exactamente lo que exige tomar la esperanza condicionada) y, cuando \(h\) supera el orden del modelo, las observaciones futuras por sus propias predicciones.
Para cuantificar la incertidumbre de esa predicción recurrimos, de nuevo, al teorema de Wold del Capítulo 3: todo proceso estacionario admite una representación como una combinación infinita de ruido blanco pasado, \(Y_t-\mu=\sum_{i=0}^\infty \psi_i\varepsilon_{t-i}\). El error de predicción a \(h\) pasos, \(e_T(h) = Y_{T+h}-\hat Y_{T+h|T}\), es precisamente la parte de esa suma que corresponde a innovaciones todavía no observadas en el momento de predecir —los choques que ocurrirán entre \(T\) y \(T+h\)—, es decir, \(e_T(h) = \sum_{i=0}^{h-1}\psi_i\,\varepsilon_{T+h-i}\). Como las innovaciones son ruido blanco (no correlacionadas entre sí), la varianza de esa suma es la suma de las varianzas de cada término, exactamente igual que en la derivación de la varianza del MA(1) del Capítulo 3:
\[\operatorname{Var}\big(e_T(h)\big) = \sigma^2\sum_{i=0}^{h-1}\psi_i^2.\] Aquí es donde la distinción entre estacionariedad y raíz unitaria del Capítulo 4 vuelve a ser decisiva: en un ARMA estacionario los \(\psi_i\) decaen geométricamente y la suma converge, de modo que la incertidumbre de predicción se estabiliza en un techo finito por lejano que sea el horizonte. En un ARIMA con \(d\geq1\), en cambio, los \(\psi_i\) no se anulan (la serie diferenciada se ha “reintegrado”), la suma crece sin límite con \(h\), y los intervalos de predicción se ensanchan indefinidamente: es la misma propiedad de los procesos \(I(1)\) —choques con efecto permanente— que ya anticipó el Capítulo 4, ahora traducida a la anchura de un intervalo de confianza. La aplicación práctica, al final del capítulo, lo mostrará con números concretos.
5.2.5 Evaluación de la predicción
Todo lo anterior describe la predicción teórica: la que haría un modelo con sus parámetros verdaderos. En la práctica trabajamos con parámetros estimados, y solo el paso del tiempo nos dirá si el modelo predijo bien. Para cuantificarlo, una vez conocido el valor real \(Y_{T+h}\) que se quería predecir, se dispone de varias medidas de error, todas construidas a partir del error de predicción \(e_T(h) = Y_{T+h}-\hat Y_{T+h|T}\) ya definido, pero que resumen su magnitud de formas distintas y con propósitos distintos. Sea \(h=1,\dots,H\) un conjunto de horizontes sobre los que se evalúa el modelo:
- Error cuadrático medio de predicción (ECMP): \(\text{ECMP} = \frac{1}{H}\sum_{h=1}^{H} e_T(h)^2\). Es la versión muestral del criterio que acabamos de usar para definir la predicción óptima; al elevar al cuadrado, penaliza desproporcionadamente los errores grandes.
- Raíz del ECMP (RECM): \(\text{RECM} = \sqrt{\text{ECMP}}\). Deshace el efecto de elevar al cuadrado y devuelve el error a las unidades originales de la variable (si \(Y\) se mide en puntos de índice, el RECM también), lo que facilita su interpretación frente al ECMP.
- Error absoluto medio (EAM): \(\text{EAM} = \frac{1}{H}\sum_{h=1}^H |e_T(h)|\). También en las unidades originales, pero sin la penalización extra de los errores grandes que introduce el cuadrado: cada unidad de error pesa lo mismo, se cometa en un error pequeño o en uno grande.
- Error absoluto medio porcentual (EAMP): \(\text{EAMP} = \frac{100}{H}\sum_{h=1}^H \left|\dfrac{e_T(h)}{Y_{T+h}}\right|\). Expresa el error como porcentaje del valor real, lo que permite comparar la precisión de predicciones sobre series de escalas muy distintas (no es lo mismo un error de 2 puntos en una serie que vale 100 que en una que vale 10 000).
Ninguna de estas medidas es “la correcta”: el RECM es más exigente con los errores grandes (útil si esos errores son especialmente costosos), el EAM es más robusto a valores atípicos en el propio periodo evaluado, y el EAMP facilita comparar modelos entre series distintas. En la aplicación práctica que cierra el capítulo calcularemos las cuatro sobre una predicción genuinamente puesta a prueba frente a datos ya conocidos.
5.3 Selección automática: auto.arima()
El algoritmo de Hyndman y Khandakar (2008), implementado en forecast::auto.arima(), automatiza buena parte de la identificación: determina \(d\) mediante contrastes sucesivos de raíz unitaria (KPSS por defecto) y después busca, entre las combinaciones de \((p,q)\) —de forma exhaustiva o mediante un algoritmo stepwise más rápido—, la que minimiza el AICc, descartando modelos cuyos parámetros no resulten significativos. El AICc es el AIC del Capítulo 3 con una corrección adicional que penaliza más los parámetros cuando la muestra es pequeña en relación con el número de parámetros estimados; a medida que crece el tamaño muestral, la corrección se desvanece y el AICc converge al AIC ordinario.
| Metodo | Modelo | AIC |
|---|---|---|
| Identificación manual (Caps. 3-4) | ARIMA(0,1,1) con deriva | -535.57 |
| auto.arima() | ARIMA(0,1,1) con deriva | -535.57 |
auto.arima() recupera exactamente el mismo modelo identificado a mano en los capítulos anteriores: ARIMA(0,1,1) con deriva. Es una comprobación útil —y tranquilizadora—, pero no debe sustituir al proceso de identificación manual: auto.arima() optimiza un criterio numérico y puede pasar por alto consideraciones económicas o elegir, ante AIC muy similares, un modelo más complejo de lo necesario. Es una herramienta de contraste, no un atajo para prescindir de la Figura 3.3.
5.4 Diagnóstico de residuos
5.4.1 Contraste de Ljung-Box
| Retardos | Estadistico | p-valor |
|---|---|---|
| 4 | 1.247 | 0.742 |
| 8 | 1.774 | 0.971 |
| 12 | 1.826 | 0.999 |
| 16 | 1.931 | 1.000 |
A cualquier número de retardos considerado, el p-valor es muy superior a los niveles de significatividad habituales: no se rechaza la ausencia de autocorrelación en los residuos.
5.4.2 Análisis de la FAC de residuos
La FAC de los residuos confirma la ausencia de estructura: ningún coeficiente sobresale de las bandas de significatividad. Pero la Figura 5.1 también hace evidente un problema distinto, que el Ljung-Box no detecta porque no es de autocorrelación: un valor atípico enorme en 2020.
| Trimestre | Residuo |
|---|---|
| 2020-04-01 | -0.2119 |
| 2020-07-01 | 0.1004 |
| 2020-01-01 | -0.0609 |
El contraste de Jarque-Bera confirma numéricamente lo que sugiere la tabla. Es un contraste de normalidad que compara dos características de la distribución de los residuos con las que tendría una normal perfecta: la asimetría (si la distribución es simétrica en torno a su media, como la normal, o si tiene una cola más larga hacia un lado —una normal tiene asimetría 0—) y la curtosis (si los valores extremos son tan poco frecuentes como en una normal, o más frecuentes —“colas pesadas”—). Cuanto más se alejen estas dos medidas de los valores que tendría una normal, mayor es el estadístico y menos plausible resulta la normalidad. Aquí el estadístico es 1.459^{4} (p < 0,001), y rechaza rotundamente la normalidad, con una asimetría de -5.44 —bien alejada del 0 de una distribución simétrica, y negativa: indica una cola izquierda (valores muy por debajo de la media) más pronunciada que la derecha—. La causa es un único trimestre —el desplome del -17,6% del PIB en el segundo trimestre de 2020, una década de volatilidad comprimida en tres meses—, no un problema generalizado de especificación. Esto tiene una consecuencia práctica importante: la ausencia de autocorrelación (Ljung-Box) es lo que garantiza que las predicciones puntuales del modelo sean válidas, y no requiere normalidad; pero los intervalos de predicción gaussianos habituales sí la requieren, y con una cola tan pesada como la que deja el trimestre de la COVID-19, es razonable sospechar que subestiman el riesgo. La aplicación práctica que sigue contrasta este intervalo gaussiano con una alternativa por bootstrap, que no impone normalidad.
5.5 Aplicación práctica paso a paso
Recapitulemos el ciclo completo de Box-Jenkins sobre \(\log(\text{PIB})\), de principio a fin:
- Identificación de \(d\) (Cap. 4): ADF, PP y KPSS coinciden en \(d=1\).
- Identificación de \((p,q)\) (Cap. 3): la FAC/FACP de \(\Delta\log(\text{PIB})\) se corta en el retardo 1 → MA(1) tentativo, confirmado por AIC/BIC.
- Estimación: ARIMA(0,1,1) con deriva sobre \(\log(\text{PIB})\) en niveles (Cuadro 5.2); confirmado de forma independiente por
auto.arima(). - Validación: residuos sin autocorrelación (Ljung-Box), pero no normales (Jarque-Bera), por un único valor atípico en 2020-T2.
- Predicción: generamos a continuación una predicción a 8 trimestres vista.
- Evaluación: cerraremos comprobando, con datos ya conocidos que el modelo no vio al estimarse, qué tan bien predice realmente.
El PIB pronosticado crece de forma gradual, desde 176.7 (último dato observado, 2024-T2) hasta 183.5 ocho trimestres después —un crecimiento acumulado del 3.9%, coherente con la tasa de crecimiento media estimada—. Como anticipaba la sección de predicción, el intervalo se ensancha con el horizonte: al primer trimestre tiene una amplitud (gaussiana) de 16.8 puntos de índice, y a ocho trimestres, de 40.1.
La Cuadro 5.6 compara este intervalo gaussiano con uno obtenido por remuestreo (bootstrap) de los residuos. La idea es distinta de la fórmula analítica anterior: en lugar de suponer que los errores futuros son gaussianos, se simulan miles de trayectorias futuras posibles reutilizando, en cada paso, un residuo elegido al azar (con reemplazamiento) entre los que realmente dejó el modelo —incluido, de vez en cuando, el residuo extremo de 2020—; el intervalo de predicción se construye después a partir del rango que cubren esas trayectorias simuladas. Al no imponer ninguna forma concreta para la distribución del error, el bootstrap no necesita suponer normalidad.
| Horizonte | Gaussiano | Bootstrap |
|---|---|---|
| h = 1 trimestre | 16.8 | 7.5 |
| h = 8 trimestres | 40.1 | 47.0 |
El resultado no es trivial: a un trimestre vista, el intervalo bootstrap es más estrecho que el gaussiano (el remuestreo, dominado por residuos pequeños, rara vez selecciona el valor atípico de 2020); a ocho trimestres, en cambio, es más ancho (con más oportunidades de remuestreo, el valor atípico entra en juego con más frecuencia, acumulando riesgo de cola que la fórmula gaussiana no captura). La lección para la práctica profesional: cuando el diagnóstico de residuos señala una desviación clara de la normalidad, conviene contrastar el intervalo gaussiano por defecto con una alternativa —como el bootstrap— antes de comunicar un rango de incertidumbre a un cliente o a un responsable de decisiones.
La Figura 5.2 anterior predice hacia un futuro que, en el momento de escribir estas líneas, todavía no se ha observado: no podemos, por tanto, calcular sobre él las medidas de error de la sección de predicción. Pero sí podemos hacer la comprobación honesta: reservar los últimos 8 trimestres realmente observados, reestimar el modelo únicamente con los datos anteriores a ellos —como si esos 8 trimestres todavía no hubieran ocurrido—, predecirlos, y comparar la predicción con lo que de verdad ocurrió.
| Trimestre | Real | Predicho | Error |
|---|---|---|---|
| 2022-T3 | 169.28 | 168.45 | 0.83 |
| 2022-T4 | 170.11 | 169.25 | 0.86 |
| 2023-T1 | 170.84 | 170.05 | 0.79 |
| 2023-T2 | 171.70 | 170.86 | 0.84 |
| 2023-T3 | 172.57 | 171.67 | 0.90 |
| 2023-T4 | 173.80 | 172.49 | 1.31 |
| 2024-T1 | 175.25 | 173.30 | 1.94 |
| 2024-T2 | 176.65 | 174.13 | 2.53 |
Con los datos hasta 2022-T2, el modelo predice una trayectoria más plana que la que realmente siguió el PIB (Cuadro 5.7): el error es pequeño al principio pero crece con el horizonte —de 0.83 puntos en el primer trimestre a 2.53 en el octavo—, porque la recuperación económica observada en 2023-2024 fue algo más intensa que la deriva constante que el modelo, por construcción, extrapola. Las cuatro medidas de la sección anterior, calculadas sobre estos 8 errores, son: \(\text{RECM}=\) 1.39 puntos de índice, \(\text{EAM}=\) 1.25 puntos, y \(\text{EAMP}=\) 0.72%. Este último es, quizás, el más fácil de comunicar: en promedio, la predicción del modelo se desvió apenas un 0.7% del valor que finalmente tomó el PIB —un error pequeño en términos relativos, aunque el propio ejercicio deja ver su límite: un modelo puramente univariante, que solo mira su propio pasado, no puede anticipar una aceleración del crecimiento que no estaba ya insinuada en los datos con los que se estimó.
NoteGRETL → R
Estimar un ARIMA sobre la serie en niveles: En Gretl: Serie → Modelos de series temporales → ARIMA, fijando \(d=1\) y activando la constante (deriva) si procede. En R: forecast::Arima(y, order = c(p, 1, q), include.drift = TRUE).
Selección automática de orden: Gretl no incluye un equivalente directo a auto.arima(). En R: forecast::auto.arima(y, seasonal = FALSE).
Generar predicciones: En Gretl: tras estimar, Análisis → Predicciones. En R: forecast::forecast(modelo, h = ..., level = 95); autoplot(forecast(modelo)) para el gráfico.
Intervalos de predicción por bootstrap: Gretl no lo ofrece de forma nativa para ARIMA. En R: forecast(modelo, h = ..., bootstrap = TRUE, npaths = 2000).
5.6 Ejercicios propuestos
- Sobre \(\log(\text{IPC})\), examine la FAC y la FACP de \(\Delta\log(\text{IPC})\) hasta el retardo 12. ¿Observa algún patrón en los retardos 6 y 12 que no aparecía en \(\Delta\log(\text{PIB})\)?
- Ajuste
auto.arima()a \(\log(\text{IPC})\) (forzandoseasonal = FALSE) y anote el modelo seleccionado. - Realice el diagnóstico de residuos (Ljung-Box a 12 retardos) del modelo del ejercicio 2. ¿Se supera la validación? Si no es así, ¿qué le sugiere el patrón detectado en el ejercicio 1 sobre la causa?
- A pesar de todo, genere una predicción a 8 meses vista con el modelo del ejercicio 2 y comente, en términos generales, qué limitación tendrá previsiblemente esa predicción a la vista del diagnóstico del ejercicio 3.
5.7 Soluciones de los ejercicios
1. FAC/FACP de \(\Delta\log(\text{IPC})\). A diferencia de \(\Delta\log(\text{PIB})\), donde toda la estructura se agotaba en el retardo 1, aquí aparecen coeficientes muy marcados en los retardos 6 y 12: \(\hat\rho_6 =\) 0.572 y \(\hat\rho_{12} =\) 0.636 (banda de significatividad \(\pm\) 0.115), con un patrón similar en la FACP. Son retardos estacionales (semestral y anual) —algo que nunca apareció en el PIB trimestral— y anticipan que un ARIMA puramente no estacional será insuficiente.
2. auto.arima() sobre \(\log(\text{IPC})\). El algoritmo selecciona un ARIMA(4,1,1) con deriva, un modelo considerablemente más complejo que el MA(1) del PIB: necesita varios parámetros AR para intentar aproximar, sin éxito completo, una estructura que en realidad es estacional.
3. Diagnóstico de residuos. El contraste de Ljung-Box a 12 retardos da \(Q =\) 65.68 (p < 0,001): se rechaza la ausencia de autocorrelación, a diferencia de lo que ocurrió con el PIB. El modelo no supera la validación. La causa es precisamente la que apuntaba el ejercicio 1: quedan sin explicar los picos estacionales en los retardos 6 y 12, que ningún ARIMA no estacional —por muchos parámetros AR que incorpore— puede capturar de forma parsimoniosa.
4. Predicción pese al fallo de validación. El modelo pronostica, aun así, una trayectoria para \(\log(\text{IPC})\) a 8 meses; sin embargo, al no incorporar el componente estacional, la predicción será excesivamente suave: no reproducirá las oscilaciones regulares dentro del año (por ejemplo, los efectos de calendario en precios de la energía o el turismo) que sí están presentes en la serie histórica, y sus intervalos de predicción —calculados bajo el supuesto, aquí incumplido, de residuos incorrelados— serán poco fiables. Es exactamente el problema que motiva el Capítulo 6: los modelos SARIMA, diseñados para capturar esta estructura estacional que el ARIMA ordinario deja sin explicar.
El código de este capítulo está en
scripts/T05_mST_Script_ModelosARIMA.R(guion teórico) yscripts/T05_mST_CP_Macro.R(caso práctico con el PIB).