2 Procesos Estocásticos y Herramientas de Análisis
En el Capítulo 1 aprendimos a separar la parte determinista de una serie (tendencia y estacionalidad) de su parte irregular. Este capítulo se ocupa de esa parte irregular: introduce el marco probabilístico —el proceso estocástico— y las herramientas —la función de autocorrelación y el operador de retardos— que permiten caracterizarla y, más adelante, modelizarla. La serie de referencia será ahora el PIB trimestral de España (INE, Contabilidad Nacional Trimestral), un ejemplo típico de serie no estacionaria.
2.1 Proceso estocástico y serie temporal
Conviene distinguir dos conceptos que a menudo se confunden:
- Un proceso estocástico es un conjunto de variables aleatorias ordenadas en el tiempo, \(\{Y_t\}\). Es el mecanismo, no observable en su totalidad, que genera los datos.
- Una serie temporal es una realización concreta de ese proceso: la trayectoria de valores efectivamente observada, \(\{y_t\}_{t=1}^{T}\).
La distinción es fundamental. En cada instante \(t\), \(Y_t\) es una variable aleatoria con su propia distribución; lo que observamos es un único valor de esa variable. Analizar la serie para inferir las propiedades del proceso que la generó es lo que llamamos caracterización del proceso estocástico.
La Figura 2.1 ilustra la idea: un mismo proceso (aquí, un AR(1) con \(\phi = 0{,}7\)) puede generar infinitas trayectorias distintas. La serie observada es solo una de ellas.
Como solo disponemos de una realización, caracterizar el proceso a partir de ella exige imponer restricciones que reduzcan el número de parámetros desconocidos. Esas restricciones son la estacionariedad y la ergodicidad.
2.2 Estacionariedad y ergodicidad
2.2.1 Estacionariedad en sentido estricto y débil
Un proceso es estacionario en sentido estricto si su distribución conjunta es invariante ante desplazamientos en el tiempo: la distribución de \((Y_t, \dots, Y_{t+k})\) coincide con la de \((Y_{t+h}, \dots, Y_{t+k+h})\) para todo \(h\). Es una condición muy exigente y difícil de verificar en la práctica.
Por ello se trabaja con la estacionariedad en sentido débil o en covarianza, que solo impone condiciones sobre los momentos de primer y segundo orden:
\[E[Y_t] = \mu \quad (\text{constante}), \qquad \operatorname{Var}(Y_t) = \sigma^2 \quad (\text{constante}),\] \[\operatorname{Cov}(Y_t, Y_{t+k}) = \gamma_k \quad (\text{depende solo del retardo } k, \text{ no de } t).\]
Es decir: media constante (ausencia de tendencia), varianza constante (homocedasticidad) y autocovarianzas que dependen únicamente de la distancia temporal \(k\) entre observaciones, no del momento en que se miden. Bajo normalidad, la estacionariedad débil implica la estricta.
2.2.2 Ergodicidad
La ergodicidad afloja la dependencia temporal: exige que el pasado remoto apenas influya en el presente, de modo que las autocovarianzas se anulen a medida que crece el retardo,
\[\lim_{k\to\infty}\gamma_k = 0,\]
o, más formalmente, que \(\sum_{k}|\gamma_k| < \infty\). Gracias a la ergodicidad, los momentos muestrales (calculados promediando en el tiempo sobre una única realización) estiman de forma consistente los momentos poblacionales del proceso. Sin ella, no podríamos aprender nada del proceso a partir de una sola serie.
2.3 Momentos de un proceso estacionario
En estadística, un momento es un resumen numérico de una distribución de probabilidad: el de primer orden es la media (dónde se centra la distribución) y los de segundo orden son la varianza y las covarianzas (cuánto se dispersan los valores y cómo covarían entre sí). Para un proceso estacionario, estos dos momentos —y solo estos— bastan para caracterizarlo por completo bajo normalidad, y se estiman a partir de la muestra observada:
- Media: \(\hat\mu = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} y_t\), el promedio simple de las \(T\) observaciones.
- Autocovarianza de orden \(k\): \(\hat\gamma_k = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T-k}(y_t-\hat\mu)(y_{t+k}-\hat\mu)\). Es la covarianza, no ya entre dos variables distintas, sino entre la propia serie y ella misma desplazada \(k\) periodos —de ahí el prefijo “auto”—: mide si los valores altos (o bajos) de \(y_t\) tienden a ir acompañados de valores altos (o bajos) de \(y_{t+k}\).
- Función de autocorrelación (FAC): \(\hat\rho_k = \hat\gamma_k / \hat\gamma_0\), con \(\gamma_0 = \operatorname{Var}(Y_t)\). Es la autocovarianza reescalada para que tome siempre valores entre \(-1\) y \(1\), igual que una correlación ordinaria.
La FAC, \(\rho_k\), mide el grado de dependencia lineal entre observaciones separadas \(k\) periodos y toma valores en \([-1, 1]\). Es adimensional, lo que facilita su interpretación y comparación.
2.4 La FAC y la FACP: el correlograma
La representación gráfica de la FAC frente al retardo \(k\) se denomina correlograma y es la herramienta central para identificar la estructura de un proceso. Junto a ella se emplea la función de autocorrelación parcial (FACP), que mide la dependencia lineal entre \(y_t\) e \(y_{t+k}\) descontando el efecto de las observaciones intermedias.
Para fijar ideas, calculemos la FAC “a mano” sobre una serie corta de 16 observaciones. La Cuadro 2.1 muestra los primeros coeficientes.
| Retardo k | FAC (rho_k) |
|---|---|
| 1 | -0.443 |
| 2 | -0.371 |
| 3 | 0.719 |
| 4 | -0.451 |
| 5 | -0.290 |
| 6 | 0.556 |
Los coeficientes son pequeños y sin un patrón claro, lo que sugiere escasa estructura de dependencia en esta serie corta. Cuando el número de observaciones es mayor, el correlograma se lee gráficamente: las bandas discontinuas marcan el intervalo \(\pm 1{,}96/\sqrt{T}\) dentro del cual un coeficiente se considera estadísticamente nulo.
2.5 Ruido blanco
El proceso estocástico estacionario más sencillo es el ruido blanco \(\varepsilon_t\), caracterizado por:
\[E[\varepsilon_t] = 0, \qquad \operatorname{Var}(\varepsilon_t) = \sigma^2, \qquad \rho_k = 0 \ \ \forall k \neq 0.\]
Es decir, media nula, varianza constante y ausencia total de autocorrelación. El ruido blanco es el “ladrillo” con el que se construyen todos los modelos de los capítulos siguientes. La Figura 2.2 muestra una realización y su correlograma.
Mirar el correlograma es útil, pero es un juicio visual sobre un conjunto de coeficientes a la vez, no un contraste formal. El contraste de Ljung-Box (una mejora del de Box-Pierce) resuelve esto: combina las autocorrelaciones de varios retardos en un único estadístico \(Q\) que, si de verdad no hay autocorrelación (hipótesis nula \(H_0\)), sigue —aproximadamente y en muestras grandes— una distribución \(\chi^2\) (“chi-cuadrado”, la distribución que sigue la suma de varias normales estándar elevadas al cuadrado, y que se usa habitualmente para contrastar si una cantidad —aquí, la autocorrelación conjunta— es compatible con cero). Cuanto mayor sea \(Q\), menos compatibles son los datos con la ausencia de autocorrelación. Sobre esta realización de ruido blanco:
| Estadístico Q | g.l. | p-valor |
|---|---|---|
| 8.388 | 12 | 0.754 |
La columna “g.l.” son los grados de libertad de la \(\chi^2\) (en esencia, el número de retardos contrastados conjuntamente, que determina la forma exacta de la distribución de referencia). Un p-valor alto —muy por encima de los niveles de significatividad habituales, como el 0,05— lleva a no rechazar la hipótesis nula: los datos son compatibles con un ruido blanco, como corresponde por construcción.
2.6 El operador de retardos
Para escribir los modelos de forma compacta se usa el operador de retardos \(L\) (o \(B\)), definido por \(L\,y_t = y_{t-1}\) y, en general, \(L^k y_t = y_{t-k}\). Con él se construye el polinomio de retardos
\[\phi(L) = 1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p,\]
cuyas raíces determinan propiedades clave (estacionariedad, invertibilidad) que estudiaremos en los capítulos siguientes. El operador de retardos permite además definir el operador diferencia:
\[\Delta y_t = y_t - y_{t-1} = (1-L)\,y_t,\]
y su versión estacional \(\Delta_s y_t = (1-L^s)\,y_t\), herramientas esenciales para inducir estacionariedad en media.
2.7 Estacionariedad en la práctica: del PIB a una serie estacionaria
Las series económicas rara vez son estacionarias. El PIB trimestral de España es un ejemplo claro: la Figura 2.3 muestra un nivel con tendencia (no estacionariedad en media) cuya variabilidad, además, tiende a crecer con el nivel.
2.7.1 El gráfico rango-media
Una herramienta sencilla para detectar la no estacionariedad en varianza —es decir, que la dispersión de la serie no es constante en el tiempo, al contrario de lo que exige la definición de estacionariedad débil de la sección anterior— es el gráfico rango-media (X-R) (el nombre proviene del control de calidad industrial, donde “X” denota la media y “R” el rango de cada subgrupo de piezas inspeccionadas). El procedimiento es sencillo: se divide la muestra en varios subperiodos consecutivos y, para cada uno, se calcula su media y su rango (la diferencia entre el valor máximo y el mínimo, una medida elemental de dispersión); después se representa un punto (media, rango) por subperiodo. Si esos puntos se alinean con pendiente positiva, significa que los subperiodos con nivel más alto son también los de mayor dispersión: la varianza crece con el nivel y la serie no es estacionaria en varianza; conviene entonces tomar logaritmos, transformación que comprime proporcionalmente más los valores grandes que los pequeños y así iguala la dispersión relativa entre subperiodos.
2.7.2 Logaritmos y diferenciación
El correlograma del PIB en niveles (Figura 2.5, izquierda) decrece muy lentamente, síntoma típico de no estacionariedad. Tras aplicar logaritmos (para estabilizar la varianza) y una diferencia regular (para eliminar la tendencia), la serie resultante \(\Delta \log(\text{PIB})\) —la tasa de crecimiento trimestral— es estacionaria: su correlograma (Figura 2.5, derecha) decae con rapidez.
La transformación \(\Delta\log\) es doblemente útil: estabiliza la varianza y elimina la tendencia, y además tiene una interpretación económica directa, pues \(\Delta\log(\text{PIB}_t)\approx\) tasa de crecimiento trimestral. Este será el punto de partida de la modelización ARMA del Capítulo 3.
NoteGRETL → R
Generar ruido blanco: En Gretl: Archivo → Nuevo conjunto de datos, y añadir una variable Normal(0,1). En R: rnorm(250).
Correlograma (FAC y FACP): En Gretl: Variable → Correlograma. En R: acf(y) y pacf(y) (o forecast::ggAcf(y), forecast::ggPacf(y)).
Diferenciar una serie: En Gretl: Añadir → Primeras diferencias de las variables seleccionadas. En R: diff(y); diferencia estacional diff(y, lag = 4).
Contraste de Ljung-Box: En Gretl: se muestra junto al correlograma (estadístico Q). En R: Box.test(y, lag = 12, type = "Ljung-Box").
2.8 Ejercicios propuestos
- Simule 200 observaciones de un ruido blanco y de un AR(1) con \(\phi = 0{,}9\). Compare sus correlogramas: ¿cuál decae más despacio y por qué?
- Sobre el PIB, aplique el contraste de Ljung-Box a la serie en niveles y a la serie \(\Delta\log\). Interprete la diferencia de p-valores.
- Construya el gráfico rango-media del PIB en logaritmos. ¿Desaparece la pendiente positiva? ¿Qué implica para la estacionariedad en varianza?
- Calcule a mano la autocovarianza de orden 1 de
serie_miniy verifique el resultado conacf(..., type = "covariance").
2.9 Soluciones de los ejercicios
1. Ruido blanco frente a AR(1). La Figura 2.6 compara ambos correlogramas: el del ruido blanco es prácticamente nulo en todos los retardos, mientras que el del AR(1) con \(\phi = 0{,}9\) decae lentamente (de forma geométrica, aproximadamente \(0{,}9^{\,k}\)), reflejo de su fuerte persistencia.
2. Ljung-Box del PIB. Con 8 retardos, sobre \(\log(\text{PIB})\) el estadístico es \(Q =\) 666 (p < 0,001), que rechaza con rotundidad la ausencia de autocorrelación; sobre \(\Delta\log(\text{PIB})\), \(Q =\) 6.6 (p = 0.58), sin evidencia de autocorrelación. La diferenciación elimina la fortísima dependencia del nivel.
3. Rango-media en logaritmos. La pendiente del gráfico rango-media pasa de 0.116 en niveles a 0.0147 en logaritmos: se reduce drásticamente hacia cero, lo que confirma que la transformación logarítmica estabiliza la varianza.
4. Autocovarianza de orden 1. El cálculo a mano, \(\hat\gamma_1 = \frac{1}{T}\sum (y_t-\bar y)(y_{t+1}-\bar y) =\) -0.134, coincide con el valor que devuelve acf(..., type = "covariance"), -0.134.
El código de este capítulo está en
scripts/T02_mST_Script_ProcesosEstocasticos.R(guion teórico) yscripts/T02_mST_CP_Macro.R(caso práctico con el PIB).