15 GARCH Multivariante: BEKK y DCC
Todos los modelos de volatilidad de los capítulos anteriores —ARCH, GARCH, EGARCH, GJR-GARCH— describen la varianza condicional de una sola serie. Pero ninguna cartera real está compuesta por un único activo: un gestor necesita saber no solo cómo varía la volatilidad de cada posición, sino cómo varía la relación entre ellas, porque es precisamente esa relación —la correlación— la que determina cuánto se diversifica realmente el riesgo. Este capítulo extiende el marco GARCH al caso multivariante, con dos aproximaciones de complejidad muy distinta —el modelo BEKK y el modelo DCC de Engle (2002)— y lo aplica a una cartera formada por el IBEX 35, el S&P 500 y el DAX, usando el paquete rmgarch.
15.1 Los límites del GARCH univariante para carteras
Considérese una cartera con dos activos y pesos \(w_1,w_2\). Su varianza es
\[\sigma_p^2 = w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\,\rho_{12}\,\sigma_1\sigma_2,\]
donde \(\rho_{12}\) es la correlación entre las rentabilidades de ambos activos. Ajustar un GARCH univariante a cada activo por separado, como en el Capítulo 9, proporciona \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\), pero nada dice sobre \(\rho_{12}\) ni sobre si esa correlación es constante en el tiempo. Y hay buenas razones para sospechar que no lo es: la intuición y la evidencia empírica coinciden en que las correlaciones entre activos financieros tienden a aumentar precisamente en los periodos de crisis —cuando la diversificación más se necesita, es cuando menos protección ofrece—, un fenómeno que iremos a comprobar con datos reales en la Sección 15.4.
La solución obvia —modelizar la matriz de covarianzas completa \(\Sigma_t\) como un proceso multivariante sin restricciones, análogo al VEC-GARCH— choca de inmediato con un problema de dimensionalidad: para \(k\) activos, \(\Sigma_t\) tiene \(k(k+1)/2\) elementos distintos, y un modelo VEC sin restricciones que explique la dinámica de cada uno de ellos en función de todos los productos cruzados de los choques y las covarianzas rezagadas necesita del orden de \(k^4\) parámetros. Con solo \(k=5\) activos, eso son más de 600 parámetros: inestimable con cualquier muestra realista. Los dos modelos de este capítulo son, cada uno a su manera, estrategias para imponer estructura sobre \(\Sigma_t\) que reduzcan ese número de parámetros a algo manejable.
15.2 El modelo BEKK
Engle y Kroner (1995) proponen una parametrización, bautizada BEKK (por las iniciales de varios autores que contribuyeron a desarrollarla independientemente: Baba, Engle, Kraft y Kroner), que garantiza —por construcción, sin necesidad de imponer restricciones adicionales durante la estimación— que \(\Sigma_t\) sea siempre una matriz definida positiva, condición matemática imprescindible para que tenga sentido como matriz de covarianzas. La especificación BEKK(1,1) es
\[\Sigma_t = C'C + A'\,\varepsilon_{t-1}\varepsilon_{t-1}'\,A + B'\,\Sigma_{t-1}\,B,\]
donde \(\varepsilon_{t-1}\) es el vector de choques del periodo anterior, \(C\) es una matriz triangular (que garantiza que \(C'C\) sea semidefinida positiva), y \(A,B\) son matrices \(k\times k\) de coeficientes. La forma cuadrática \(A'\varepsilon_{t-1}\varepsilon_{t-1}'A\) es, para cualquier \(A\), semidefinida positiva, y lo mismo ocurre con \(B'\Sigma_{t-1}B\) si \(\Sigma_{t-1}\) ya lo era: la suma de matrices semidefinidas positivas más una definida positiva (\(C'C\), si \(C\) es de rango completo) es definida positiva, así que \(\Sigma_t\) hereda la propiedad de \(\Sigma_{t-1}\) recursivamente, generación tras generación, exactamente igual que la condición de positividad del GARCH univariante del Capítulo 9 se transmitía de \(\sigma_{t-1}^2\) a \(\sigma_t^2\).
El precio de esta elegancia matemática es, de nuevo, el número de parámetros: en su versión más general (“BEKK completo”), \(A\) y \(B\) son matrices \(k\times k\) sin restricciones, con \(k^2\) parámetros libres cada una. Para \(k=3\) activos —como los que usaremos en la Sección 15.4—, eso son ya \(2\times 9=18\) parámetros solo en \(A\) y \(B\), más los de \(C\); para \(k=10\), doscientos. En la práctica, casi todas las aplicaciones de BEKK restringen \(A\) y \(B\) a ser diagonales (el “BEKK diagonal”, con solo \(2k\) parámetros en la dinámica), lo que a cambio impide que la volatilidad de un activo responda a los choques de otro —una simplificación que renuncia, precisamente, a parte de la riqueza que motivaba el modelo—. No implementamos BEKK con datos reales en este capítulo: el ecosistema de paquetes de R para GARCH multivariante se ha decantado, de forma casi unánime, por la alternativa de la sección siguiente, que resuelve el problema de la dimensionalidad de una manera distinta y, en la práctica, más flexible.
15.3 El modelo DCC de Engle: estimación en dos etapas
Engle (2002) propone descomponer la matriz de covarianzas de otra forma, separando la varianza de cada activo (que puede modelizarse con un GARCH univariante ordinario, uno por activo, tan flexible como se quiera) de la correlación entre ellos (que se modeliza aparte, con muy pocos parámetros adicionales, sin importar cuántos activos haya). Formalmente,
\[\Sigma_t = D_t\, R_t\, D_t,\]
con \(D_t=\text{diag}(\sigma_{1t},\dots,\sigma_{kt})\) la matriz diagonal de desviaciones típicas condicionales —una por activo, cada una de un GARCH univariante como los del Capítulo 9— y \(R_t\) la matriz de correlaciones condicionales, que sí varía en el tiempo. La dinámica de \(R_t\) se modeliza a través de una matriz auxiliar \(Q_t\),
\[Q_t = (1-a-b)\,\bar Q + a\, z_{t-1}z_{t-1}' + b\, Q_{t-1}, \qquad R_t = \text{diag}(Q_t)^{-1/2}\, Q_t\, \text{diag}(Q_t)^{-1/2},\]
donde \(z_t\) son los residuos estandarizados de cada GARCH univariante (\(z_{it}=\varepsilon_{it}/\sigma_{it}\)), \(\bar Q\) es su matriz de covarianzas incondicional, y \(a,b\ge0\) con \(a+b<1\) juegan el mismo papel que \(\alpha,\beta\) en un GARCH(1,1) ordinario: cuánto pesa la sorpresa reciente frente a la inercia de la correlación pasada. La normalización final por \(\text{diag}(Q_t)^{-1/2}\) convierte \(Q_t\), que no tiene por qué tener unos en la diagonal, en una auténtica matriz de correlación \(R_t\).
La ventaja decisiva frente a BEKK está en el recuento de parámetros: la parte de las varianzas se estima activo a activo, con el mismo coste que en el Capítulo 9 (\(k\) modelos GARCH univariantes independientes); la parte de la correlación añade solo dos parámetros, \(a\) y \(b\), con total independencia de cuántos activos \(k\) haya en la cartera. Esta separación también sugiere la estimación en dos etapas que da nombre a esta sección: primero se ajusta un GARCH univariante a cada serie por separado (Etapa 1, ya dominada desde el Capítulo 9), y después, con los residuos estandarizados resultantes, se estima la dinámica de la correlación \(a,b\) (Etapa 2) —mucho más rápido y estable numéricamente que optimizar todos los parámetros de golpe, como exigiría un BEKK completo—.
15.4 Aplicación: una cartera IBEX 35 - S&P 500 - DAX
Ajustamos un DCC(1,1), con innovaciones t de Student multivariante (coherente con las colas gruesas del Capítulo 13), sobre las rentabilidades diarias de tres índices que un inversor europeo podría combinar en una cartera internacional: el IBEX 35, el S&P 500 estadounidense y el DAX alemán, usando las 2000 últimas sesiones comunes a los tres (2018-05-31 a 2026-07-08, siguiendo la recomendación de AGENTS.md de limitar la muestra en la estimación DCC por motivos de coste computacional).
Las constantes de correlación estimadas son \(\hat a=\) 0.041 y \(\hat b=\) 0.897, con \(\hat a+\hat b=\) 0.938, muy próximo a 1: la correlación entre estos tres índices, igual que la volatilidad de un GARCH(1,1) ordinario, es muy persistente —los cambios de régimen de correlación tardan en disiparse—.
Dos lecturas se desprenden de la Figura 15.1. La primera: la correlación del IBEX con el DAX (media 0.787) es sistemáticamente mayor que con el S&P 500 (media 0.425, con momentos incluso próximos a cero) —razonable, dado que ambos son mercados europeos, con el mismo huso horario y expuestos a buena parte de los mismos factores macroeconómicos y de política monetaria del BCE, mientras que el S&P 500 cotiza con Europa ya cerrada y responde a su propio ciclo—. La segunda, más relevante para la gestión del riesgo: la correlación IBEX-DAX alcanza su máximo histórico de la muestra, 0.939, el 13 de marzo de 2020 —en pleno desplome bursátil por la pandemia de COVID-19—, y su mínimo, 0.598, en un periodo de calma relativa posterior. Es la confirmación, con datos, de la advertencia de la Sección 15.1: la diversificación entre el IBEX y el DAX se debilitó exactamente cuando más se necesitaba, un patrón bien documentado en la literatura de contagio financiero.
15.5 Cobertura dinámica
Un gestor que mantiene una posición larga en el IBEX 35 y quiere cubrir parte de su riesgo con una posición corta en el DAX necesita decidir cuántas unidades de DAX vender por cada unidad de IBEX que posee: el llamado ratio de cobertura (hedge ratio), \(h\). Si la cartera cubierta es \(r_{ibex}-h\,r_{dax}\), su varianza es
\[\text{Var}(r_{ibex}-h\,r_{dax}) = \sigma_{ibex}^2 - 2h\,\text{Cov}(r_{ibex},r_{dax}) + h^2\sigma_{dax}^2,\]
y derivando respecto a \(h\) e igualando a cero, el ratio que minimiza la varianza de la posición cubierta es
\[h^\ast = \frac{\text{Cov}(r_{ibex},r_{dax})}{\sigma_{dax}^2}.\]
La versión estática de esta fórmula —con la covarianza y la varianza muestrales de toda la muestra— da un ratio de cobertura constante. La ventaja del DCC es que permite calcular un ratio dinámico, \(h_t^\ast=\text{Cov}_t(r_{ibex},r_{dax})/\sigma_{dax,t}^2\), que se ajusta día a día a como cambian tanto la volatilidad del DAX como su covarianza con el IBEX.
El ratio de cobertura estático es \(h=\) 0.833; el dinámico oscila, según el momento, entre 0.425 y 1.178, con una media de 0.768 muy próxima al estático. Comparando la varianza de la posición sin cubrir con la de ambas coberturas: la cobertura dinámica reduce la varianza en un 70.7%, frente al 71.2% de la cobertura estática —una diferencia mínima en esta comparación concreta, calculada dentro de la propia muestra de estimación—. Esto no debe interpretarse como que la cobertura dinámica “no aporta nada”: su ventaja real no está en la varianza media de toda la muestra, sino en que el ratio se ajusta cuando más importa, en los episodios de correlación creciente como el de la Figura 15.1, mientras que un ratio estático, calculado una vez y mantenido fijo, no reacciona a que la relación entre ambos mercados haya cambiado. Evaluar esa ventaja de forma rigurosa —comparando la cobertura dinámica y la estática fuera de muestra, y no solo dentro de ella— es exactamente el tipo de ejercicio que el Capítulo 11 enseñó a hacer con las predicciones puntuales, y que se propone ahora, sobre la cobertura de riesgo, en el primer ejercicio de este capítulo.
15.6 Ejercicios propuestos
- Divida la muestra en dos mitades. Estime el ratio de cobertura estático con la primera mitad y evalúe la reducción de varianza que logra sobre la segunda mitad (fuera de muestra). Compárelo con la reducción de varianza que logra el ratio dinámico del DCC evaluado en esa misma segunda mitad. ¿Cambia la conclusión de la Sección 15.5 al hacer la comparación genuinamente fuera de muestra?
- Añada el EUR/USD (
data/EURUSD_X.xlsx) como cuarto activo al DCC de la Sección 15.4. ¿Cómo es su correlación condicional media con el IBEX, comparada con la del DAX y la del S&P 500? - Calcule cuántos parámetros tendría un modelo BEKK completo, sin restricciones, para una cartera de 8 activos (contabilice \(A\), \(B\) y \(C\)). Compárelo con el número de parámetros adicionales que exige el DCC para pasar de 3 a 8 activos en ese mismo modelo.
- Repita el ajuste DCC de la Sección 15.4 usando solo las 500 últimas sesiones en lugar de 2000. ¿Cambian de forma sustancial \(\hat a\) y \(\hat b\), o la correlación dinámica estimada es razonablemente estable frente a la ventana muestral elegida?
15.7 Soluciones de los ejercicios
1. Cobertura fuera de muestra. Con el ratio estático estimado en la primera mitad y evaluado en la segunda, la reducción de varianza fuera de muestra es del 64%; con el ratio dinámico del DCC, evaluado en esa misma segunda mitad, del 64.3%. Aqui SI aparece la ventaja de la cobertura dinamica: fuera de muestra, adaptarse a la correlacion cambiante bate al ratio fijo calculado una sola vez, un resultado que conviene contrastar —no dar por sentado— exactamente como advertía el cierre de la Sección 15.5.
2. EUR/USD como cuarto activo. La correlación condicional media del IBEX con el EUR/USD es 0.007, muy inferior a la del DAX (0.787) y del orden de la del S&P 500. Tiene sentido económico: el tipo de cambio EUR/USD refleja factores (política monetaria relativa, flujos de capital) solo parcialmente solapados con los que mueven un índice bursátil europeo, a diferencia del DAX, que comparte con el IBEX buena parte de sus determinantes macroeconómicos y de mercado.
3. Parámetros de BEKK: 3 frente a 8 activos. Con \(k=3\), un BEKK completo tiene \(2k^2+k(k+1)/2=\) 24 parámetros (contando \(A\), \(B\) y \(C\) triangular); con \(k=8\), 164 —un salto enorme para solo cinco activos más—. El DCC, en cambio, sigue necesitando exactamente los mismos dos parámetros de correlación (\(a,b\)), con independencia de \(k\); lo único que crece con el número de activos es la parte, ya bien conocida desde el Capítulo 9, de ajustar un GARCH univariante por cada activo adicional.
4. Estabilidad frente a la ventana muestral. Con las 500 últimas sesiones, \(\hat a=\) 0.034 y \(\hat b=\) 0.904, frente a \(\hat a=\) 0.041 y \(\hat b=\) 0.897 con las 2000 sesiones completas. Las estimaciones son razonablemente estables frente al tamano de la ventana, un chequeo de robustez rápido que conviene hacer siempre antes de confiar en un solo ajuste DCC sobre una única muestra.
El código de este capítulo está en
scripts/T15_mST_Script_GARCH_Multivariante.R(guion teórico) yscripts/T15_mST_CP_Financiero.R(caso práctico con la cartera IBEX-S&P500-DAX).