| Nivel de confianza | VaR histórico (%) | VaR normal (%) |
|---|---|---|
| 95% | 2.17 | 2.25 |
| 99% | 3.79 | 3.18 |
| 99.5% | 4.67 | 3.53 |
14 Value at Risk y Expected Shortfall
Los Capítulos 9 y 13 caracterizaron la volatilidad y las colas gruesas del IBEX 35; este capítulo las pone al servicio de una pregunta muy concreta, la que se hacen a diario las mesas de riesgo de cualquier entidad financiera: ¿cuánto dinero puede perderse, en el peor de los casos razonables, en la próxima jornada? El Value at Risk (VaR) fue, durante más de veinte años, la respuesta estándar de la industria y del regulador a esa pregunta; el Expected Shortfall (ES) es la medida que, tras la crisis financiera de 2008, ha terminado por sustituirla como referencia regulatoria. Presentamos ambas, cuatro formas distintas de calcularlas —histórica, paramétrica, con GARCH y por simulación de Monte Carlo—, y el procedimiento formal para comprobar, con datos reales, si un modelo de VaR concreto merece la confianza que se deposita en él.
14.1 El concepto de Value at Risk
El VaR al nivel de confianza \(1-\alpha\) (habitualmente \(\alpha=5\%\) o \(\alpha=1\%\)) es la pérdida que, en un horizonte dado —aquí, un día—, no se espera superar con probabilidad \(1-\alpha\). Formalmente, si \(r_t\) es la rentabilidad (con pérdidas representadas como valores negativos), el \(\text{VaR}_\alpha\) es el valor que cumple
\[P(r_t < -\text{VaR}_\alpha) = \alpha,\]
es decir, \(-\text{VaR}_\alpha\) es, sencillamente, el cuantil \(\alpha\) de la distribución de la rentabilidad —el mismo concepto de cuantil que ya usamos para los valores críticos de los contrastes de hipótesis del manual, aplicado ahora a la propia variable de interés en lugar de a un estadístico de contraste—. Un \(\text{VaR}_{5\%}\) del 2% significa que, con la información disponible hoy, se espera perder más del 2% del valor de la posición en, como mucho, 1 de cada 20 sesiones.
El VaR tiene, sin embargo, dos limitaciones importantes que conviene tener presentes desde el principio. La primera es que no dice nada sobre la magnitud de la pérdida cuando se supera el VaR: un \(\text{VaR}_{5\%}\) del 2% es compatible tanto con pérdidas del 2.1% como con pérdidas catastróficas del 20% en ese 5% de peores días, y el VaR, por construcción, no distingue entre ambos escenarios. La segunda, más técnica pero con consecuencias prácticas serias, es que el VaR no es, en general, una medida de riesgo subaditiva: Artzner, Delbaen, Eber y Heath (1999) demuestran que puede darse el caso de que \(\text{VaR}(A+B) > \text{VaR}(A)+\text{VaR}(B)\) para dos carteras \(A\) y \(B\), es decir, que el VaR de la cartera conjunta sea mayor que la suma de los VaR individuales —justo lo contrario de lo que cabría esperar de la diversificación—. Una medida de riesgo que penalice la diversificación en lugar de premiarla es, cuando menos, sospechosa como base de un marco regulatorio, y es precisamente esta limitación la que motiva el Expected Shortfall de la Sección 14.3.
14.2 Métodos de cálculo del VaR
Trabajamos con \(\alpha=1\%\) —el nivel más exigente, y el que mejor deja ver las diferencias entre métodos, como se verá enseguida— sobre el rendimiento diario del IBEX 35.
14.2.1 VaR histórico
El método más directo, y el que menos supuestos exige, es la simulación histórica: estimar el VaR directamente como el cuantil empírico \(\alpha\) de la muestra de rentabilidades observadas, sin imponer ninguna forma paramétrica a la distribución.
Sobre el IBEX, el \(\text{VaR}_{1\%}\) histórico es 3.79%: en 1 de cada 100 sesiones, históricamente, la pérdida ha superado ese 3.79%.
14.2.2 VaR paramétrico (normal)
La alternativa paramétrica más simple asume que la rentabilidad sigue una normal, \(r_t\sim N(\mu,\sigma^2)\), con \(\mu\) y \(\sigma\) estimados por sus equivalentes muestrales, de modo que \(\text{VaR}_\alpha=-(\mu+z_\alpha\,\sigma)\), con \(z_\alpha\) el cuantil \(\alpha\) de la normal estándar. El Capítulo 13 ya advirtió que el rendimiento del IBEX es marcadamente leptocúrtico, así que cabe esperar que este supuesto sea problemático —pero, y este es un matiz importante que solo aparece al comparar niveles de confianza distintos, no de la misma manera en todos los cuantiles—.
La Cuadro 14.1 revela el matiz: al 95% de confianza, el VaR normal (2.25%) es, de hecho, ligeramente mayor que el histórico (2.17%) —la normal, en esta región del cuantil, no infravalora el riesgo—. Pero al 99% y al 99.5%, la situación se invierte con claridad: el VaR histórico (3.79% y 4.67%) supera con holgura al normal (3.18% y 3.53%). Es la manifestación práctica, en cifras concretas, del exceso de curtosis que cuantificamos en el Capítulo 13: las colas gruesas del IBEX no distorsionan la distribución de forma pareja en todos los cuantiles, sino que se concentran en los extremos, y es precisamente ahí —en el 99% de confianza que exige la normativa bancaria— donde la aproximación normal falla peor, subestimando el riesgo justo donde más importa no hacerlo.
14.2.3 VaR con modelos GARCH
Los dos métodos anteriores comparten un defecto: son estáticos, el mismo VaR se aplica a cualquier día, con independencia de si el mercado atraviesa una fase tranquila o una crisis. El Capítulo 9 mostró que la volatilidad del IBEX varía sustancialmente en el tiempo; un VaR que ignore esa variación estará sobreestimando el riesgo en periodos de calma e infraestimándolo justo antes y durante los episodios de estrés, cuando más importa acertar. La solución es dejar que el VaR dependa del tiempo a través de la varianza condicional \(\sigma_t^2\) de un modelo GARCH:
\[\text{VaR}_{\alpha,t} = -\big(\mu_t + \sigma_t\, q_\alpha\big),\]
con \(q_\alpha\) el cuantil \(\alpha\) de la distribución estandarizada de los residuos —aquí, la t de Student estandarizada, coherente con las colas gruesas del Capítulo 13— y \(\mu_t,\sigma_t\) la media y desviación típica condicionales que el modelo estima cada día. Reutilizamos el EGARCH(1,1) del Capítulo 9, el preferido por AIC entre los modelos allí estimados.
El VaR dinámico (línea continua) se mueve, con claridad, en la misma dirección que la volatilidad condicional de la Figura 9.4 del Capítulo 9: se dispara en 2008 y en 2020, y se relaja en los periodos de calma relativa, mientras que los VaR histórico y normal (líneas discontinuas) permanecen, por construcción, completamente planos durante toda la muestra. Un gestor de riesgo que solo dispusiera del VaR estático estaría infraestimando el riesgo justo cuando el mercado se lo advierte con más claridad.
14.2.4 VaR por simulación de Monte Carlo
Un cuarto método, útil sobre todo cuando la distribución de la cartera es demasiado compleja para una fórmula cerrada —por ejemplo, con varios activos y opciones—, es simular numéricamente muchos escenarios posibles del día siguiente y calcular el cuantil empírico de esas simulaciones. Aplicado a nuestro EGARCH(1,1)-t: se simulan 100.000 extracciones de una t de Student estandarizada con \(\hat\nu=\) 8.58 grados de libertad (el valor estimado del Capítulo 9), se escalan por la media y la desviación típica condicionales del último día, \(\hat\mu_T\) y \(\hat\sigma_T\), y se calcula el cuantil \(\alpha\) de esas simulaciones.
El VaR de Monte Carlo resulta 2.13%, prácticamente idéntico al 2.14% que da la fórmula analítica del cuantil de la t de Student para ese mismo día —una comprobación útil: cuando existe una fórmula cerrada, como aquí, la simulación debe converger a ella, y que lo haga es la evidencia de que el procedimiento de simulación está bien implementado antes de aplicarlo a un caso —una cartera con varios activos, por ejemplo— donde no existe una fórmula cerrada con la que contrastar el resultado—.
14.3 Expected Shortfall
El Expected Shortfall (ES), también llamado Conditional VaR (CVaR), corrige la primera limitación del VaR señalada en la Sección 14.1: en lugar de limitarse a un umbral de pérdida, promedia la pérdida dentro del \(\alpha\%\) de peores escenarios,
\[\text{ES}_\alpha = -E\big[r_t \mid r_t < -\text{VaR}_\alpha\big],\]
es decir, “si estamos en uno de esos días malos, ¿cuánto se pierde, en promedio?”. Por construcción, \(\text{ES}_\alpha \geq \text{VaR}_\alpha\) siempre: promediar dentro de la cola nunca puede dar un número menor que el umbral que define esa cola. A diferencia del VaR, el ES sí es subaditivo —Artzner et al. (1999) lo demuestran junto con el resto de propiedades que definen una medida de riesgo coherente—, así que no penaliza artificialmente la diversificación.
| Método | VaR 99% (%) | ES 99% (%) |
|---|---|---|
| Histórico | 3.79 | 5.28 |
| Normal | 3.18 | 3.65 |
| GARCH (Monte Carlo) | 2.14 | 2.65 |
En los tres métodos el ES supera al VaR, como debe ser, y la diferencia entre ambos es mayor en el método histórico (1.49 puntos) que en el normal (0.47 puntos): la cola empírica, más pesada, tiene un promedio interior más alejado del umbral que la cola de una normal, que se adelgaza mucho más deprisa a partir del propio umbral.
14.4 Backtesting del VaR: los contrastes de Kupiec y Christoffersen
Ningún modelo de VaR debería aceptarse solo porque su formulación teórica sea razonable: hay que comprobar, con datos, si realmente cumple lo que promete. El procedimiento se llama backtesting, y consiste en contar las violaciones —los días en los que la pérdida real superó el VaR estimado para ese día— y contrastar dos propiedades que un buen VaR debe cumplir.
La primera es la cobertura incondicional: la proporción de violaciones debe ser, aproximadamente, igual al \(\alpha\) nominal —ni muchas más (el modelo subestima el riesgo) ni muchas menos (lo sobreestima, siendo innecesariamente conservador—. Kupiec (1995) formaliza esto como un contraste de razón de verosimilitudes: si \(x\) es el número de violaciones en \(T\) observaciones y \(\hat\pi=x/T\) la proporción observada,
\[\text{LR}_{uc} = -2\left[(T-x)\log(1-\alpha) + x\log(\alpha) - (T-x)\log(1-\hat\pi) - x\log(\hat\pi)\right],\]
que bajo la hipótesis nula \(H_0:\hat\pi=\alpha\) se distribuye, asintóticamente, como una \(\chi^2\) con 1 grado de libertad —comparando la verosimilitud de los datos bajo la tasa de violación nominal frente a la verosimilitud bajo la tasa realmente observada—.
La segunda propiedad, más sutil, es la independencia: las violaciones no deben agruparse en el tiempo. Un modelo con exactamente un 1% de violaciones, pero todas ellas concentradas en dos semanas de octubre de 2008, sería inútil en la práctica —no protege frente al riesgo real, que es precisamente el de rachas de pérdidas consecutivas—. Christoffersen (1998) contrasta la independencia modelizando la secuencia de violaciones \(I_t\in\{0,1\}\) como una cadena de Markov de dos estados, y comparando, mediante otro contraste de razón de verosimilitudes (\(\text{LR}_{ind}\), también \(\chi^2_1\) bajo \(H_0\)), si la probabilidad de violación mañana depende de si hoy hubo violación o no; bajo independencia, ambas probabilidades condicionales deberían ser iguales.
| Método | Violaciones (%) | Kupiec p-valor | Christoffersen p-valor |
|---|---|---|---|
| Histórico | 1.0051 | 0.9623 | 0.0002 |
| Normal | 1.7710 | 0.0000 | 0.0000 |
| GARCH (dinámico) | 1.2684 | 0.0179 | 0.5848 |
Los resultados trazan un patrón nítido. El VaR histórico tiene una cobertura casi perfecta (1.01%, Kupiec no rechaza con p = 0.962) pero falla estrepitosamente en independencia (Christoffersen p = 2^{-4}): al ser un umbral fijo, sus violaciones se agrupan en los episodios de crisis, exactamente el problema que ya anticipaba la Figura 14.1. El VaR normal falla en ambos frentes —demasiadas violaciones (1.77%, muy por encima del 1% nominal) y, de nuevo, agrupadas—, la peor combinación posible: subestima el riesgo medio y, además, falla justo cuando más protección se necesita. El VaR GARCH es el único que supera el contraste de independencia con holgura (p = 0.5848): al adaptarse día a día a la volatilidad condicional, sus violaciones no se agrupan, aunque su tasa de cobertura (1.27%) queda algo por encima del 1% nominal —un margen de mejora que, en la práctica profesional, suele abordarse afinando la distribución de los residuos o el propio orden del GARCH, pero que no cambia la conclusión cualitativa: un VaR dinámico y con colas gruesas es indispensable para superar el contraste de independencia, el que de verdad importa para que el modelo proteja cuando el mercado se pone difícil.
14.5 Contexto regulatorio: de Basilea II a la Revisión Fundamental de la Cartera de Negociación
El Comité de Supervisión Bancaria de Basilea estableció, en su acuerdo de 1996 sobre riesgo de mercado (posteriormente integrado en Basilea II), el VaR al 99% a 10 días como la métrica estándar para calcular el capital regulatorio que un banco debe mantener frente al riesgo de sus carteras de negociación. La crisis financiera de 2008 puso de manifiesto, de forma dramática, las dos limitaciones del VaR discutidas en la Sección 14.1 —su ceguera ante la magnitud de las pérdidas de cola, y su falta de subaditividad, que puede llevar a subestimar el riesgo de una cartera diversificada—: muchas entidades registraron pérdidas muy superiores a lo que su VaR sugería como razonable. La Revisión Fundamental de la Cartera de Negociación (Fundamental Review of the Trading Book, FRTB), que da forma a Basilea III y IV en esta materia, sustituye el VaR por el Expected Shortfall al 97.5% como métrica de capital regulatorio (Comité de Supervisión Bancaria de Basilea 2019) —un nivel de confianza distinto, pero, como muestra la Sección 14.3, una medida que sí captura la magnitud de las pérdidas de cola y sí respeta la diversificación—. Con todo, el VaR no ha desaparecido de la práctica: se sigue usando de forma generalizada para el backtesting diario y para la comunicación interna del riesgo, precisamente por su interpretación más directa como “umbral de pérdida”, con el ES reservado para el cálculo formal del capital regulatorio.
14.6 Ejercicios propuestos
- Calcule el VaR histórico y el VaR normal al 95% (en lugar del 99% usado en el capítulo) sobre el IBEX. Compare cuál de los dos es mayor a este nivel, y relacione el resultado con la Cuadro 14.1.
- Realice el backtesting (Kupiec y Christoffersen) del VaR histórico y del VaR normal al 95%. ¿Mejora la cobertura del VaR normal a este nivel de confianza menos exigente, respecto al 99% de la Sección 14.4?
- Calcule el Expected Shortfall histórico al 97.5% —el nivel exacto que exige la FRTB— sobre el IBEX, y compárelo con el VaR al 99% histórico calculado en el capítulo. ¿Cuál de los dos umbrales es más conservador (mayor) en este caso?
- Repita el cálculo del VaR GARCH de la Sección 14.2 sustituyendo el EGARCH(1,1) por el GARCH(1,1) simétrico del Capítulo 9. Compare el VaR de ambos modelos en los días posteriores a una caída fuerte del IBEX. ¿Qué modelo reacciona con más intensidad, y es coherente con lo que el Capítulo 9 encontró sobre el efecto apalancamiento?
14.7 Soluciones de los ejercicios
1. VaR al 95%. El VaR histórico es 2.17% y el normal 2.25%: a este nivel, el normal vuelve a ser ligeramente MAYOR que el historico, coherente con la Cuadro 14.1: es en los niveles de confianza más extremos (99%, 99.5%), no en el 95%, donde la infravaloración del riesgo por parte de la normal se hace evidente.
2. Backtesting al 95%. El p-valor de Kupiec para el VaR normal al 95% es 0.1431, frente al 0 que obtenía al 99%: la cobertura del VaR normal SI mejora sustancialmente al nivel menos exigente del 95%. Es coherente con el argumento central del capítulo: el problema de la aproximación normal no es la normal en sí, sino su desajuste específico en las colas más extremas de la distribución.
3. Expected Shortfall al 97.5% (FRTB) frente a VaR al 99%. El ES histórico al 97.5% es 4.06%, frente al 3.79% del VaR histórico al 99% usado en el capítulo. El ES al 97.5% resulta MAS conservador (mayor) que el VaR al 99%, un resultado relevante para entender por qué el cambio normativo de la FRTB no es, en la práctica, una relajación del capital exigido pese a bajar el nivel de confianza nominal del 99% al 97.5%: el ES, al promediar toda la cola en lugar de fijarse en un único cuantil, compensa con creces el nivel de confianza más bajo.
4. GARCH simétrico frente a EGARCH tras una caída fuerte. El día de mayor caída de toda la muestra, el VaR del día siguiente sube 5.115 puntos porcentuales con el EGARCH, frente a 6.241 puntos con el GARCH simétrico: el GARCH simetrico reacciona con mas intensidad tras un choque negativo. Es exactamente coherente con el efecto apalancamiento del Capítulo 9: el EGARCH, al incorporar explícitamente la asimetría de la respuesta de la volatilidad al signo del choque, eleva el VaR más deprisa que un GARCH simétrico ante una caída fuerte, precisamente cuando esa reacción rápida es más valiosa para la gestión del riesgo.
El código de este capítulo está en
scripts/T14_mST_Script_VaR_ES.R(guion teórico) yscripts/T14_mST_CP_Financiero.R(caso práctico con el IBEX 35).