8 Cointegración y Modelos de Corrección del Error (VECM)
El Capítulo 7 trabajó con las tasas de crecimiento de PIB y consumo —ya estacionarias— y encontró un sistema con poca memoria: apenas un retardo, sin apenas causalidad de Granger. Pero al diferenciar se pierde, por construcción, cualquier relación de nivel entre las dos series: ¿existe una proporción “normal” entre el consumo y la renta de la que ambas variables no pueden alejarse indefinidamente? Esa es la pregunta que aborda la cointegración, y este capítulo la responde —con un resultado más matizado de lo que un manual al uso suele mostrar— sobre el mismo par PIB-Consumo, ahora en niveles logarítmicos.
8.1 El problema de las regresiones espurias
Regresionar una serie \(I(1)\) sobre otra \(I(1)\) no relacionada produce, con sorprendente frecuencia, resultados que parecen significativos. Es el fenómeno de la regresión espuria, documentado por Granger y Newbold (1974) y explicado formalmente por Phillips (1986). La intuición es la siguiente: cuando ambas series son \(I(1)\) (Capítulo 4), cada una está dominada por su propia tendencia estocástica —un recorrido acumulado de choques aleatorios que no converge a ningún valor—, y una regresión MCO entre ellas termina, en realidad, ajustando el parecido casual entre dos trayectorias erráticas, no una relación genuina. Formalmente, esto se traduce en que el estadístico \(t\) de MCO no converge a una distribución normal, sino a una variable aleatoria no acotada que, a diferencia del caso habitual, no se estabiliza aunque la muestra crezca; de modo que rechazar \(H_0:\beta=0\) con este estadístico no aporta evidencia real de relación alguna.
La Figura 8.1 simula dos paseos aleatorios independientes por construcción, del mismo tamaño que nuestra muestra (\(n=\) 118), y los regresiona uno sobre el otro.
El ajuste da \(R^2=\) 0.317 y un coeficiente “significativo” con \(t=\) -7.34 (p < 0,001) —una relación estadísticamente “clarísima” entre dos series que, por construcción, no tienen absolutamente nada que ver—. Esta es la trampa que la cointegración permite evitar: antes de interpretar una regresión entre niveles no estacionarios como una relación económica real, hay que comprobar que sus residuos son estacionarios.
8.2 Concepto de cointegración
8.2.1 Definición formal
Siguiendo a Engle y Granger (1987): dos series \(X_t, Y_t \sim I(1)\) están cointegradas si existe una combinación lineal \(Z_t = Y_t - \beta X_t\) que es \(I(0)\), es decir, estacionaria. El vector \((1,-\beta)\) se denomina vector de cointegración. La definición se extiende a \(K\) variables: un sistema de \(K\) series \(I(1)\) puede tener hasta \(K-1\) relaciones de cointegración linealmente independientes, cuyo número se llama rango de cointegración, \(r\).
8.2.2 Interpretación económica: relaciones de equilibrio a largo plazo
Que \(X_t\) e \(Y_t\) estén cointegradas significa que, aunque cada una vague sin límite por sí sola (son \(I(1)\)), no pueden alejarse indefinidamente la una de la otra: \(Z_t\), la desviación respecto a la relación de largo plazo, es estacionaria y por tanto revierte a su media. Es la formalización estadística de una relación de equilibrio: el tipo de interés a largo y a corto plazo (hipótesis de las expectativas), el consumo y la renta (hipótesis del ingreso permanente), el tipo de cambio nominal y los precios relativos (paridad del poder adquisitivo) son, todos ellos, candidatos clásicos a cointegración —volveremos sobre los tres al final del capítulo—.
8.3 Contraste de cointegración de Engle-Granger
8.3.1 Procedimiento en dos etapas
- Se estima por MCO la regresión de largo plazo \(Y_t = \alpha + \beta X_t + Z_t\).
- Se contrasta si los residuos \(\hat Z_t\) tienen raíz unitaria. Si se rechaza —los residuos son estacionarios—, las series están cointegradas.
El matiz crítico está en el paso 2: los residuos \(\hat Z_t\) no son una serie observada cualquiera, sino el resultado de una regresión que ya minimizó su varianza; el contraste ADF ordinario del Capítulo 4, aplicado sobre ellos, está sesgado a favor de encontrar estacionariedad. Hacen falta valores críticos propios —tabulados por Engle y Granger (1987) y refinados por MacKinnon (1996)—, más exigentes que los de un ADF ordinario. En R, el contraste de Phillips-Ouliaris (tseries::po.test()), asintóticamente equivalente, incorpora automáticamente esos valores críticos correctos.
Aplicado a \(\log(\text{Consumo})\) y \(\log(\text{PIB})\), la regresión de largo plazo (Cuadro 8.1) da un coeficiente de 0.858 —una elasticidad consumo-renta muy próxima a 1, económicamente razonable a primera vista—, pero el contraste de Phillips-Ouliaris sobre sus residuos da un estadístico de -11.143 con un p-valor de 0.15: no se rechaza la ausencia de cointegración.
| Término | Estimación | Error típico | t | p-valor |
|---|---|---|---|---|
| constante | 0.6682 | 0.0752 | 8.8888 | 0 |
| log(PIB) | 0.8583 | 0.0152 | 56.6236 | 0 |
8.3.2 Limitaciones
El procedimiento de Engle-Granger tiene dos debilidades conocidas. La primera, de la que ya advertía el epígrafe anterior: al no rechazar \(H_0\), no podemos concluir que no exista cointegración, solo que no hay evidencia suficiente para afirmarla —el contraste tiene poca potencia en muestras moderadas como la nuestra (118 trimestres)—. La segunda es más sutil: el resultado puede depender de qué variable se coloca a la izquierda de la regresión de largo plazo, una asimetría injustificada que desaparece con el método de Johansen.
8.4 Contraste de Johansen
El procedimiento de Johansen (1988, 1991) supera ambas limitaciones: trata el sistema de forma simétrica (no hay variable “dependiente”) y, al basarse en la estimación por máxima verosimilitud de un VAR completo, permite además contrastar cuántas relaciones de cointegración existen, no solo si existe alguna.
8.4.1 Estadístico de la traza
El contraste de la traza evalúa secuencialmente \(H_0: r \leq r_0\) frente a \(H_1: r > r_0\), para \(r_0 = 0, 1, \dots, K-1\), comenzando por \(r_0=0\) (ninguna relación de cointegración) y deteniéndose en el primer \(r_0\) que no se rechaza.
8.4.2 Estadístico del máximo autovalor
El contraste del máximo autovalor es una alternativa que compara específicamente \(H_0: r=r_0\) frente a \(H_1: r=r_0+1\), en lugar de la alternativa “al menos” de la traza. Ambos se basan en los mismos autovalores del problema de Johansen, pero pueden en ocasiones no coincidir en su conclusión.
8.4.3 Selección del rango de cointegración
Antes de aplicar el contraste hace falta decidir, igual que con la tendencia y la constante en el ADF del Capítulo 4, qué términos deterministas incluir —una decisión que en urca::ca.jo() se controla con el argumento ecdet (“equation for the deterministic term”)—. La opción ecdet = "const", que usamos aquí, coloca una constante dentro de la propia relación de cointegración (permitiendo que el equilibrio de largo plazo no pase exactamente por el origen, algo natural cuando, como aquí, se trabaja en logaritmos); la alternativa ecdet = "none" no incluye ningún término determinista, y ecdet = "trend" añade además una tendencia lineal dentro de la relación. La elección no es cosmética: como comprobaremos en los ejercicios, puede cambiar la conclusión sobre cuántas relaciones de cointegración detecta el contraste.
| H0 | Traza | CV traza (5%) | Máx. autovalor | CV autov. (5%) |
|---|---|---|---|---|
| r = 0 | 21.56 | 19.96 | 16.25 | 15.67 |
| r <= 1 | 5.31 | 9.24 | 5.31 | 9.24 |
El panorama es más ambiguo de lo que sería deseable (Cuadro 8.2). Para \(H_0: r=0\), tanto la traza (21.56) como el máximo autovalor (16.25) superan su valor crítico al 5% (19.96 y 15.67 respectivamente) —aunque por poco, y sin superar el del 1%—; para \(H_0: r\leq1\), ninguno de los dos se rechaza. La lectura mecánica del procedimiento apunta a \(r=1\): una relación de cointegración. Pero conviene no aceptar esa conclusión sin más, por dos motivos. Primero, es marginal: al 1% de significatividad no se rechazaría \(r=0\), y en el Capítulo 4 vimos que el PIB español atraviesa una ruptura estructural en 2008 que los contrastes de raíz unitaria y de cointegración estándar —que suponen parámetros constantes— no manejan bien; contrastes que sí permiten una ruptura (como el de Gregory y Hansen, 1996, extensión del marco de cointegración análoga a la de Zivot-Andrews del Capítulo 4) podrían alterar la conclusión. Segundo, y más revelador, la propia relación estimada bajo \(r=1\) resulta problemática, como muestra la sección siguiente. Contrastaremos además la sensibilidad de esta conclusión a la especificación determinista en los ejercicios.
8.5 El modelo de corrección del error (VECM)
8.5.1 Especificación
Si \(K\) series \(I(1)\) tienen rango de cointegración \(r\), el teorema de representación de Granger (Engle y Granger, 1987) garantiza que ese sistema puede reescribirse en una forma equivalente, la representación VECM, que separa explícitamente la relación de largo plazo (a través de la desviación respecto al equilibrio) de la dinámica de corto plazo (los cambios periodo a periodo). Es el resultado que traduce la cointegración —hasta ahora una propiedad estadística abstracta— en un modelo que se puede estimar y usar para predecir:
\[\Delta Y_t = \Pi\,Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i\,\Delta Y_{t-i} + \varepsilon_t, \qquad \Pi = \alpha\beta',\]
donde \(\beta\) (de dimensión \(K\times r\)) contiene los vectores de cointegración y \(\alpha\) (de igual dimensión) los coeficientes de ajuste: cuánto y en qué dirección corrige cada variable su trayectoria de corto plazo ante una desviación del equilibrio de largo plazo, \(\beta' Y_{t-1}\).
8.5.2 Relación de largo plazo y dinámica de corto plazo
| Ecuación | Coef. ajuste (ECT) | Error típico |
|---|---|---|
| Δlog(PIB) | 0.0065 | 0.0022 |
| Δlog(Consumo) | 0.0058 | 0.0028 |
El vector de cointegración estimado es \(\log(\text{PIB}) - 4.215\cdot\log(\text{Consumo}) + 16.749 = 0\), es decir, una elasticidad de largo plazo del PIB respecto al consumo de 4.21: un valor económicamente inverosímil (un aumento del 1% en el consumo asociado a más de un 4% en el PIB a largo plazo no tiene interpretación razonable en ninguna teoría del crecimiento). Además, los dos coeficientes de ajuste de la Cuadro 8.3 son positivos. En un mecanismo de corrección de errores estable, cuando una variable se sitúa por encima de su relación de equilibrio, su tasa de crecimiento debería reducirse para converger de nuevo —coeficiente de ajuste negativo—; coeficientes positivos empujan en la dirección contraria, alejando aún más el sistema del “equilibrio” en lugar de corregirlo.
En conjunto —significatividad solo marginal en Johansen, elasticidad inverosímil, coeficientes de ajuste de signo desestabilizador—, la evidencia de una cointegración genuina y económicamente interpretable entre PIB y consumo en esta muestra es débil. No es un fallo del procedimiento: es la conclusión honesta que arrojan los datos, y un recordatorio de que superar un contraste al 5% no basta para dar una relación por buena. Ante evidencia tan frágil, el VAR en diferencias del Capítulo 7 —que no impone ninguna relación de largo plazo— sigue siendo, en este caso, la elección más defendible.
8.6 Aplicaciones macroeconómicas
Aunque nuestro propio ejercicio empírico ha resultado más cauteloso de lo habitual, la cointegración es una herramienta central en tres aplicaciones clásicas de la macroeconomía y las finanzas internacionales.
8.6.1 Tipos de interés: la hipótesis de las expectativas
La hipótesis de las expectativas de la estructura temporal de tipos de interés postula que el tipo a largo plazo es, esencialmente, una media de los tipos a corto plazo esperados durante ese horizonte más una prima de plazo aproximadamente constante. Si es cierta, el tipo a largo (\(R_t\)) y el tipo a corto (\(r_t\)) —ambos, típicamente, procesos \(I(1)\)— deben estar cointegrados con vector \((1,-1)\): el diferencial \(R_t - r_t\) (el spread) debe ser estacionario. Campbell y Shiller (1987) y, en el contexto español, numerosos trabajos sobre la curva de tipos del Tesoro, contrastan precisamente esta hipótesis con la metodología de este capítulo.
8.6.2 Consumo y renta: la hipótesis del ingreso permanente
Es la aplicación que hemos desarrollado en detalle: si los hogares consumen una fracción estable de su renta permanente, consumo y renta deben cointegrar, con una elasticidad de largo plazo próxima a 1. Nuestro resultado —cointegración frágil y una elasticidad estimada poco creíble— no refuta la hipótesis del ingreso permanente en sí (que, de hecho, el Capítulo 7 encontró compatible con la ausencia de causalidad de Granger a un retardo), pero sí ilustra lo delicado que es documentarla con series relativamente cortas y estructuralmente inestables.
8.6.3 Paridad del poder adquisitivo (PPA)
La PPA postula que el tipo de cambio nominal (\(S_t\), unidades de moneda local por extranjera) y el cociente de niveles de precios (\(P_t/P_t^*\)) deben moverse conjuntamente a largo plazo: \(\log S_t - \log P_t + \log P_t^*\) debería ser estacionario. La evidencia empírica es, en el mejor de los casos, mixta: la revisión clásica de Taylor y Taylor (2004) documenta que la PPA tiende a cumplirse solo a horizontes muy largos (décadas) y con una velocidad de convergencia muy lenta, y que los contrastes de cointegración estándar —igual que hemos comprobado nosotros mismos con PIB y consumo— a menudo carecen de potencia suficiente en muestras de la longitud disponible habitualmente. No disponemos en este manual de series de precios comparables entre países para replicar el ejercicio, pero el lector interesado puede aplicar exactamente el procedimiento de este capítulo al tipo EUR/USD (data/EURUSD_X.xlsx) y a los índices de precios de ambas áreas.
NoteGRETL → R
Contraste de Engle-Granger / Phillips-Ouliaris: En Gretl: Modelo → Series temporales → Contraste de cointegración → Engle-Granger. En R: tseries::po.test(cbind(y, x)).
Contraste de Johansen: En Gretl: Modelo → Series temporales → Contraste de cointegración → Johansen. En R: urca::ca.jo(y, type = "trace"|"eigen", ecdet = "const"|"none"|"trend", K = ...).
Estimar un VECM: En Gretl: Modelo → Series temporales → Vector de corrección del error (VECM). En R: tsDyn::VECM(y, lag = ..., r = ..., estim = "ML").
8.7 Ejercicios propuestos
- Invierta la normalización de la regresión de largo plazo —
log(PIB) ~ log(Consumo), en vez de al revés— y repita el contraste de Phillips-Ouliaris. ¿Cambia la conclusión respecto al texto? - Repita el contraste de Johansen con
ecdet = "none"en lugar de"const". Compare el estadístico de la traza para \(r=0\) con el de la Cuadro 8.2. ¿Es robusta la conclusión sobre el rango de cointegración a esta elección? - Simule dos paseos aleatorios independientes de \(n=\) 118 observaciones (la misma longitud que la muestra del capítulo) con una semilla distinta a la de la Figura 8.1 y regresione uno sobre el otro. Comente el R² y el p-valor obtenidos.
- A la vista de los coeficientes de ajuste de la Cuadro 8.3 (ambos positivos), explique por qué esta dinámica es incompatible con un mecanismo de corrección de errores estable, y qué le sugiere sobre la fiabilidad del vector de cointegración estimado.
8.8 Soluciones de los ejercicios
1. Normalización invertida. El estadístico de Phillips-Ouliaris sobre log(PIB) ~ log(Consumo) es -9.051 (p = 0.15), prácticamente idéntico en su conclusión al de la Cuadro 8.1: no se rechaza la ausencia de cointegración en ningún caso. En esta ocasión el resultado sí es robusto a la normalización, a diferencia de lo que la teoría advierte que puede ocurrir en general.
2. Sensibilidad a la especificación determinista. Con ecdet = "none", el estadístico de la traza para \(r=0\) es 7.49, frente a un valor crítico al 5% de 17.95: en este caso no se rechaza \(r=0\) —justo la conclusión contraria a la obtenida con ecdet = "const" en el texto—. La conclusión sobre el rango de cointegración no es robusta a la especificación determinista elegida, lo que refuerza la cautela del texto: con una señal tan sensible a decisiones de especificación, no conviene apoyar conclusiones fuertes únicamente en el resultado de un contraste.
3. Segunda simulación de regresión espuria. Con una semilla distinta, el resultado es cualitativamente el mismo: \(R^2=\) 0, con un coeficiente “significativo” (\(t=\) 0, p 0.9981) entre dos series que, de nuevo, no guardan ninguna relación por construcción. El fenómeno de la regresión espuria no depende de la semilla concreta: es una propiedad general de las series \(I(1)\) no cointegradas.
4. Coeficientes de ajuste positivos. En un VECM estable, el coeficiente de ajuste de cada ecuación debe tener el signo que corrige la desviación: si \(Y_{t-1}\) está por encima de lo que predice la relación de largo plazo, \(\Delta Y_t\) debe reaccionar a la baja (coeficiente negativo) para converger de nuevo hacia el equilibrio. Con coeficientes positivos como los de la Cuadro 8.3, una desviación del equilibrio se amplifica en lugar de corregirse: el sistema no tiende hacia la relación estimada, sino que se aleja de ella. Esto es inconsistente con la propia noción de cointegración —una relación de la que el sistema no puede separarse indefinidamente— y es la confirmación más directa de que el rango \(r=1\), aunque formalmente “significativo” al 5% en la traza, no describe una relación de equilibrio genuina en estos datos.
El código de este capítulo está en
scripts/T08_mST_Script_Cointegracion.R(guion teórico) yscripts/T08_mST_CP_Macro.R(caso práctico con el sistema PIB-Consumo).