1 Introducción y Componentes de las Series Temporales
El análisis de series temporales estudia fenómenos que evolucionan en el tiempo con el doble objetivo de describir su comportamiento pasado y predecir su comportamiento futuro. A diferencia de los datos de corte transversal, donde las observaciones se recogen en un único momento y se suponen independientes, en una serie temporal el orden de las observaciones es esencial y existe dependencia entre ellas: el valor de hoy está relacionado con el de ayer. Esta dependencia es, a la vez, la principal dificultad estadística y la fuente de información que hace posible la predicción.
A lo largo de todo el manual acompañaremos la teoría con series reales de la economía española. En este primer capítulo, la protagonista es el Índice de Precios de Consumo (IPC) general de España, publicado por el Instituto Nacional de Estadística (INE), con periodicidad mensual desde 2002 hasta 2026. El IPC es un número índice: no mide el precio de un bien concreto, sino el nivel medio de precios de una cesta representativa de bienes y servicios, normalizado de forma que un periodo de referencia (aquí, el año 2021) toma el valor 100. Un valor de 110 en un mes posterior significa que esa cesta cuesta, en promedio, un 10% más que en el año base; esta es la lectura que debe darse a cualquier “índice, base = 100” que aparezca en el manual.
1.1 ¿Qué es una serie temporal?
Una serie temporal es una secuencia de observaciones de una variable registradas a intervalos regulares de tiempo. Formalmente, la denotamos \(\{y_t\}_{t=1}^{T}\), donde \(t\) indexa el instante temporal (día, mes, trimestre, año) y \(T\) es el tamaño muestral. La separación regular entre observaciones define la frecuencia de la serie: en economía, las más habituales son la diaria, la mensual, la trimestral y la anual.
Dos rasgos distinguen una serie temporal de una muestra de corte transversal:
- El orden importa. Las observaciones no son intercambiables: reordenarlas destruye la información dinámica del fenómeno.
- Las observaciones son dependientes. El supuesto de independencia habitual en inferencia clásica no se sostiene; existe una relación de dependencia con el pasado que raramente desaparece.
La Figura 1.1 muestra la serie del IPC. Antes de cualquier modelización, la primera herramienta del analista es siempre el gráfico de la serie: permite intuir su naturaleza y decidir qué técnicas aplicar.
La serie del IPC presenta un crecimiento sostenido a lo largo del tiempo —los precios suben de forma acumulada— sobre el que se superponen fluctuaciones que se repiten cada año. Este comportamiento, muy común en las series económicas, nos lleva de forma natural a descomponer la serie en componentes.
1.2 Los componentes de una serie temporal
El análisis clásico entiende una serie temporal como el resultado de la coexistencia de cuatro componentes no observables:
- Tendencia (\(T_t\)): el movimiento de largo plazo, la dirección general de la serie. Puede ser creciente, decreciente o aproximadamente constante.
- Ciclo (\(C_t\)): oscilaciones en torno a la tendencia de periodo superior al año, ligadas a la actividad económica. A menudo es difícil separarlo de la tendencia, por lo que se habla de un único componente tendencia-ciclo.
- Estacionalidad (\(S_t\)): pautas que se repiten de forma regular con periodo inferior o igual al año (meteorológicas, institucionales, culturales). En el IPC, las rebajas de enero y julio o los precios turísticos de verano dejan una huella estacional.
- Componente irregular (\(I_t\)): la parte que no sigue un patrón sistemático; recoge las influencias aleatorias. Es el componente estocástico de la serie y el objeto central de la modelización de los capítulos siguientes.
No todas las series presentan los cuatro componentes. La Figura 1.2 descompone el IPC mediante el procedimiento STL (Seasonal-Trend decomposition based on Loess, “descomposición estacional-tendencia basada en Loess”). La idea del método es sencilla aunque su implementación sea iterativa: Loess es una técnica de regresión local que, para estimar el valor suavizado en cada instante, ajusta una regresión sencilla usando solo las observaciones cercanas a ese instante (una “ventana” móvil), en lugar de una única función para toda la serie; STL aplica esta idea de forma alternada para ir separando primero la estacionalidad y después la tendencia-ciclo, hasta que ambas estimaciones dejan de cambiar. El resultado son tres series —tendencia-ciclo, estacional e irregular— que, sumadas, reproducen la serie observada.
La descomposición confirma la lectura visual: la tendencia captura el encarecimiento acumulado, el componente estacional muestra un patrón anual estable, y el componente irregular recoge perturbaciones puntuales —muy visibles, por ejemplo, en el episodio inflacionista de 2021-2022—. Es precisamente este componente irregular el que modelizaremos con procesos estocásticos a partir del Capítulo 3.
1.2.1 Componente determinista y componente estocástico
Conviene distinguir dos naturalezas dentro de una serie:
- La parte determinista recoge comportamientos sistemáticos y predecibles por causas conocidas (institucionales, culturales, demográficas). La estacionalidad y la tendencia suelen tener un fuerte componente determinista.
- La parte estocástica recoge las variaciones que no obedecen a causas controlables; es el componente aleatorio o irregular.
Toda serie puede escribirse, de forma esquemática, como
\[y_t = \underbrace{f(t)}_{\text{determinista}} + \underbrace{u_t}_{\text{estocástico}},\]
donde \(f(t)\) describe la parte sistemática (tendencia y estacionalidad) y \(u_t\) el componente irregular. La estrategia del análisis clásico consiste en filtrar la parte determinista para poder modelizar la parte estocástica sin que aquélla enturbie el análisis.
1.3 Esquemas de descomposición
La forma en que se combinan los componentes define dos esquemas:
- Aditivo: \(y_t = T_t + S_t + I_t\). Apropiado cuando la magnitud de las oscilaciones estacionales no depende del nivel de la serie.
- Multiplicativo: \(y_t = T_t \times S_t \times I_t\). Apropiado cuando la amplitud estacional es proporcional al nivel de la serie. Es el esquema más habitual en economía; tomando logaritmos se transforma en aditivo.
La Cuadro 1.1 resume ambos esquemas y su criterio de elección.
| Esquema | Expresión | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Aditivo | y = T + S + I | Amplitud estacional constante (independiente del nivel) |
| Multiplicativo | y = T x S x I | Amplitud estacional proporcional al nivel de la serie |
En la práctica, la elección se guía por el gráfico de la serie: si las oscilaciones estacionales crecen con el nivel, el esquema multiplicativo (o el trabajo en logaritmos) es preferible.
1.4 Descomposición clásica y suavizado por medias móviles
El enfoque clásico identifica y separa los componentes de forma secuencial. La herramienta básica para estimar la tendencia-ciclo es la media móvil, que suaviza la serie promediando cada observación con las de su entorno y amortigua así las fluctuaciones de corto plazo.
Concretamente, una media móvil de orden \(k\) sustituye cada observación \(y_t\) por el promedio de las \(k\) observaciones más próximas a ella; que sea centrada significa que ese promedio se calcula usando observaciones tanto anteriores como posteriores a \(t\) (por ejemplo, de \(t-6\) a \(t+5\) para orden 12), a diferencia de una media móvil “de arrastre” que solo mira hacia atrás. Al promediar varios meses, las subidas y bajadas puramente estacionales —que en promedio se compensan a lo largo de un año— se cancelan entre sí, y lo que queda es la tendencia-ciclo. Por eso, para una serie mensual, una media móvil centrada de orden 12 (un año completo de datos) elimina la estacionalidad anual y deja a la vista la tendencia-ciclo. La Figura 1.3 superpone esta media móvil sobre el IPC.
La línea negra —la media móvil— reproduce la tendencia-ciclo despojada de estacionalidad. Nótese que una media móvil de orden 12 no puede calcularse para los seis primeros y los seis últimos meses de la muestra: el suavizado siempre sacrifica observaciones en los extremos.
1.4.1 Otros métodos de suavizado y filtrado
Además de las medias móviles, existen métodos clásicos alternativos para extraer la señal de largo plazo:
- El alisado exponencial y el método de Holt-Winters: en lugar de promediar todas las observaciones cercanas por igual, como hace la media móvil, asignan más peso a las observaciones recientes que a las lejanas (se estudian en detalle en el Capítulo 10).
- El filtro X-13ARIMA-SEATS (heredero del más antiguo X-11): un procedimiento oficial, empleado por los institutos de estadística, que combina un modelo estadístico de la serie con una batería de reglas para detectar y corregir automáticamente valores atípicos y efectos de calendario antes de estimar la estacionalidad (Capítulo 6).
- El filtro de Hodrick-Prescott (HP), muy utilizado en macroeconomía para separar tendencia y ciclo. El filtro HP busca, de entre todas las trayectorias posibles, la serie de tendencia \(\tau_t\) (léase “tau sub t”) que mejor equilibra dos objetivos que tiran en direcciones opuestas: ajustarse bien a los datos observados y, al mismo tiempo, ser suave (no dar bandazos de un periodo a otro). Formalmente, \(\tau_t\) es la trayectoria que minimiza
\[\underbrace{\sum_{t=1}^{T}(y_t-\tau_t)^2}_{\text{ajuste a los datos}} + \lambda\underbrace{\sum_{t=2}^{T-1}\big[(\tau_{t+1}-\tau_t)-(\tau_t-\tau_{t-1})\big]^2}_{\text{penalización por falta de suavidad}}.\]
El primer sumando es la suma de los errores al cuadrado entre la serie observada \(y_t\) y la tendencia \(\tau_t\): cuanto mejor se ajuste \(\tau_t\) a los datos, más pequeño es. El segundo sumando mide cuánto cambia la pendiente de la tendencia de un periodo a otro —el término entre corchetes es, precisamente, la diferencia entre dos incrementos consecutivos de \(\tau_t\)—, de modo que penaliza los cambios bruscos de dirección. El parámetro \(\lambda\) (que el analista debe fijar de antemano) regula el peso relativo de ambos objetivos: cuanto mayor sea \(\lambda\), más caro resulta para el filtro permitir que la tendencia cambie de pendiente, y más lisa (más próxima a una línea recta) resultará la tendencia estimada; para datos mensuales se usa habitualmente \(\lambda = 14400\). La Figura 1.4 muestra la tendencia HP y el ciclo resultante —la diferencia entre la serie observada y esa tendencia—.
El componente cíclico del filtro HP oscila en torno a cero y pone de manifiesto las fases de aceleración y desaceleración de los precios respecto a su tendencia.
1.5 Ajuste estacional
Muchas series económicas se difunden desestacionalizadas (ajustadas de estacionalidad), porque el componente estacional puede ocultar los movimientos realmente informativos. El ajuste estacional aísla y elimina la estacionalidad, permite comparar meses consecutivos y proporciona índices estacionales. No obstante, si la serie tiene una tendencia muy marcada o un componente irregular fuerte, un ajuste estacional inapropiado puede introducir una estacionalidad artificial. Estudiaremos el ajuste estacional riguroso (TRAMO-SEATS y X-13ARIMA-SEATS) en el Capítulo 6.
1.6 Software: R y Gretl
A lo largo del manual el trabajo empírico se realiza en R (con RStudio), el estándar en la investigación de series temporales. El temario de la asignatura utiliza además Gretl, un programa libre con interfaz gráfica muy útil para la docencia. Para facilitar la transición, a lo largo de los capítulos clásicos incluiremos cajas comparativas que muestran cómo realizar la misma operación en ambos programas.
NoteGRETL → R
Importar una serie temporal: En Gretl: Archivo → Abrir datos → Archivo de usuario, y definir la estructura como serie temporal. En R: datos <- readxl::read_excel("data/serie.xlsx") o read.csv("data/serie.csv").
Gráfico de la serie: En Gretl: Variable → Gráfico de series temporales. En R: plot(serie) o ggplot(df, aes(fecha, y)) + geom_line().
Media móvil: En Gretl: Variable → Filtrar → Media móvil simple. En R: forecast::ma(serie, order = 12).
1.7 Ejercicios propuestos
- Represente gráficamente el IPC en logaritmos y compare visualmente si el esquema de descomposición más adecuado es aditivo o multiplicativo.
- Calcule una media móvil centrada de orden 4 y otra de orden 24 sobre el IPC. ¿Cómo afecta el orden de la media móvil al grado de suavizado?
- Aplique el filtro de Hodrick-Prescott con \(\lambda = 1600\) y \(\lambda = 129600\). ¿Qué papel juega \(\lambda\) sobre la suavidad de la tendencia estimada?
- A partir de la descomposición STL, identifique los meses con mayor y menor factor estacional en el IPC e interprételos económicamente.
1.8 Soluciones de los ejercicios
1. IPC en logaritmos. La correlación entre el nivel medio anual y la amplitud estacional anual es 0.27, claramente positiva: la amplitud de las oscilaciones estacionales crece con el nivel del índice. Por tanto, el esquema multiplicativo —equivalente a trabajar con la serie en logaritmos, que estabiliza esa amplitud— es el más adecuado.
2. Medias móviles de orden 4 y 24. La desviación típica de la serie suavizada es 10.55 con orden 4 y 9.38 con orden 24. A mayor orden, mayor suavizado (menor variabilidad residual) pero mayor pérdida de observaciones en los extremos: 2 a cada lado con orden 4 frente a 12 con orden 24. La media móvil de orden 12 es la que elimina la estacionalidad anual.
3. Filtro HP con distintos \(\lambda\). La desviación típica del ciclo es 0.56 con \(\lambda = 1600\) y 1.07 con \(\lambda = 129600\). Un \(\lambda\) mayor impone una tendencia más lisa y traslada más variación al ciclo; \(\lambda\) regula el compromiso entre suavidad de la tendencia y ajuste a los datos.
4. Estacionalidad por meses. El factor estacional del IPC es máximo en junio y mínimo en febrero. Los meses de rebajas (enero y julio) tienden a presentar factores bajos, mientras que los periodos de mayor consumo elevan el índice; esta pauta se repite de forma estable año tras año.
El código completo de este capítulo está en
scripts/T01_mST_Script_Introduccion.R(guion teórico) yscripts/T01_mST_CP_Macro.R(caso práctico con el IPC).