9 Modelos ARCH, GARCH y Extensiones Asimétricas
Todos los modelos de los capítulos anteriores —desde el AR(1) del Capítulo 3 hasta el VECM del Capítulo 8— comparten un supuesto que hasta ahora no habíamos cuestionado: que la varianza del término de error es constante en el tiempo. Ese supuesto, razonable para el PIB o el consumo trimestrales, se rompe de forma sistemática en las series financieras de alta frecuencia. Este capítulo introduce los modelos ARCH y GARCH, diseñados específicamente para cuando lo que varía en el tiempo no es el nivel de la serie, sino su propia incertidumbre. La serie protagonista cambia también: dejamos el PIB trimestral por el IBEX 35 diario, que acompañará al lector durante el resto del manual.
9.1 Heteroscedasticidad condicional en series económicas
La Figura 9.1 muestra 8.358 cotizaciones diarias del IBEX 35 desde 1993 hasta 2026, y su rendimiento diario, calculado como \(\Delta\log(\text{Precio}_t) \approx\) variación porcentual del precio de un día para otro. Dos rasgos saltan a la vista, y ninguno de los dos encaja bien con lo que hemos modelizado hasta ahora:
- El rendimiento oscila, a simple vista, en torno a cero, sin tendencia ni estacionalidad: poca estructura en la media. De hecho, un
auto.arima()sobre esta serie —el lector puede comprobarlo— no encuentra ningún término AR o MA que mejore sobre un simple ruido blanco con media constante. - Pero la amplitud de esas oscilaciones no es constante: hay tramos —las crisis de 2000-2002, 2008 y 2020 son visibles a simple vista— de oscilaciones grandes, seguidos de tramos de relativa calma. A este fenómeno se le llama agrupación de volatilidad (volatility clustering): los días de rendimientos extremos tienden a agruparse en el tiempo, en lugar de repartirse uniformemente.
Esto es una forma de heteroscedasticidad —varianza no constante—, pero de una naturaleza distinta a la que suele estudiarse en un curso de econometría de corte transversal, donde la varianza del error cambiaba en función de otra variable explicativa. Aquí la varianza cambia en función del tiempo, y más concretamente, en función de lo ocurrido en el pasado reciente de la propia serie: es una heteroscedasticidad condicional. Conviene distinguir dos conceptos, análogos a la media incondicional y condicional que ya usamos en capítulos anteriores:
- La varianza marginal (o incondicional) de la serie, \(\operatorname{Var}(\varepsilon_t)=\sigma^2\), que sigue siendo constante —es, de hecho, lo que garantiza que la serie sea estacionaria—.
- La varianza condicional, \(\sigma_t^2 = \operatorname{Var}(\varepsilon_t\mid\Omega_{t-1})\), la varianza de \(\varepsilon_t\) dado todo lo observado hasta el periodo anterior (\(\Omega_{t-1}\), la misma notación del conjunto de información del Capítulo 5), que sí varía en el tiempo y es, precisamente, lo que estos modelos van a describir.
La Figura 9.2 hace esta distinción tangible: compara el correlograma del rendimiento con el correlograma del rendimiento al cuadrado.
El rendimiento en sí apenas muestra estructura —el correlograma de la izquierda se mueve dentro de las bandas de significatividad—, pero su cuadrado (una medida elemental de la magnitud del movimiento diario, sin importar el signo) muestra una autocorrelación fuerte y que decae despacio: los días de rendimiento extremo (positivo o negativo) tienden a ir seguidos de más días de rendimiento extremo. Esta es la firma que vamos a modelizar formalmente: el rendimiento es, aproximadamente, ruido blanco; su varianza condicional, no.
9.2 El modelo ARCH(q)
9.2.1 Especificación
El modelo ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, “heteroscedasticidad condicional autorregresiva”), propuesto por Robert Engle (1982) —trabajo por el que recibiría el Premio Nobel de Economía en 2003— formaliza la idea anterior. Partimos de un rendimiento \(\varepsilon_t\) (que puede ser, a su vez, el residuo de un modelo ARIMA para la media, si esta tuviera alguna estructura; en nuestro caso, el propio rendimiento centrado en su media) descompuesto como
\[\varepsilon_t = z_t\,\sigma_t, \qquad z_t \overset{\text{iid}}{\sim} (0,1),\]
donde \(z_t\) es una innovación de varianza unitaria, independiente en el tiempo, y \(\sigma_t\) es la desviación típica condicional, que absorbe toda la dinámica de la volatilidad. El modelo ARCH(1) especifica esa varianza condicional como una función lineal del último choque al cuadrado:
\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2, \qquad \omega > 0,\ \ \alpha \geq 0.\]
Las restricciones \(\omega>0\) y \(\alpha\geq0\) son de no negatividad: una varianza no puede ser negativa, así que ninguna combinación de parámetros que pudiera producir un valor negativo de \(\sigma_t^2\) es admisible. La interpretación es directa: si ayer el mercado tuvo un movimiento grande (\(\varepsilon_{t-1}^2\) alto, sea cual sea su signo), hoy se espera —en promedio— una varianza condicional también alta, y por tanto rendimientos potencialmente más extremos; si ayer el mercado estuvo tranquilo, hoy también se espera tranquilidad. Es, precisamente, el mecanismo que genera la agrupación de volatilidad de la Figura 9.1.
Resulta instructivo reescribir el modelo de una forma que recuerde a algo ya conocido. Como \(\varepsilon_t^2 = z_t^2\sigma_t^2\), y definiendo \(\eta_t = \sigma_t^2(z_t^2-1)\) —una cantidad con esperanza condicional nula, \(E[\eta_t\mid\Omega_{t-1}]=\sigma_t^2\big(E[z_t^2]-1\big)=0\), porque \(z_t\) tiene varianza unitaria—, se obtiene
\[\varepsilon_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \eta_t.\]
Esta ecuación tiene exactamente la forma de un AR(1) (Capítulo 3), pero escrita sobre los cuadrados de la serie, \(\varepsilon_t^2\), en lugar de sobre la serie original. La analogía no es superficial: es la misma álgebra. Igual que en el Capítulo 3 dedujimos que un AR(1) es estacionario si \(|\phi|<1\) y que su media es \(c/(1-\phi)\), aquí la misma deducción —tomando esperanzas en ambos lados, usando que \(E[\eta_t]=0\) y que, bajo estacionariedad, \(E[\varepsilon_t^2]=E[\varepsilon_{t-1}^2]=\sigma^2\) (la varianza marginal, constante)— da la condición de estacionariedad \(\alpha<1\) y la varianza marginal
\[\sigma^2 = \frac{\omega}{1-\alpha}.\]
La generalización a \(q\) retardos, el ARCH(q), es \(\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\,\varepsilon_{t-i}^2\), con \(\omega>0\) y \(\alpha_i\geq0\) para todo \(i\), y condición de estacionariedad \(\sum_{i=1}^q \alpha_i < 1\).
9.2.2 Contraste del efecto ARCH (multiplicador de Lagrange)
Antes de ajustar un modelo ARCH conviene comprobar que hace falta: el contraste del multiplicador de Lagrange (LM) de Engle formaliza justamente la comparación visual de la Figura 9.2. El procedimiento, sobre los residuos \(\hat\varepsilon_t\) de la ecuación de la media (aquí, el rendimiento centrado en su media muestral):
- Se calculan los residuos al cuadrado, \(\hat\varepsilon_t^2\).
- Se regresan sobre una constante y \(m\) retardos de sí mismos: \(\hat\varepsilon_t^2 = \gamma_0+\gamma_1\hat\varepsilon_{t-1}^2+\cdots+\gamma_m\hat\varepsilon_{t-m}^2+u_t\), y se obtiene el \(R^2\) de esta regresión auxiliar.
- Bajo \(H_0:\gamma_1=\cdots=\gamma_m=0\) (ausencia de efecto ARCH), el estadístico \(\text{LM}=(T-m)\,R^2\) se distribuye asintóticamente como una \(\chi^2_m\).
| R² regresión auxiliar | Estadístico LM | Valor crítico χ²₅ (5%) |
|---|---|---|
| 0.1044 | 872.21 | 11.07 |
Con \(m=5\) retardos, el \(R^2\) de la regresión auxiliar es 0.104 —modesto en apariencia, pero la muestra es enorme (8.357 observaciones)—, lo que da un estadístico \(\text{LM}=\) 872.2, muy por encima del valor crítico de 11.07: se rechaza rotundamente la ausencia de efecto ARCH. El rendimiento del IBEX 35 exhibe heteroscedasticidad condicional inequívoca, y un modelo ARCH o GARCH está más que justificado.
9.3 El modelo GARCH(p,q)
9.3.1 Especificación y restricciones de positividad
El ARCH tiene un inconveniente práctico: para capturar una dependencia de volatilidad tan persistente como la que sugiere la Figura 9.2 —el correlograma de los cuadrados apenas decae en veinte retardos— haría falta un \(q\) muy elevado, con el consiguiente riesgo de estimar decenas de parámetros y de que algunos de ellos incumplan la restricción de no negatividad. Bollerslev (1986) propuso una solución tan sencilla como efectiva: dejar que la varianza condicional dependa también de su propio pasado, no solo de los choques pasados. El modelo GARCH(1,1) (Generalized ARCH) es
\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2, \qquad \omega>0,\ \ \alpha\geq0,\ \ \beta\geq0,\ \ \alpha+\beta<1.\]
La varianza de hoy se escribe como una media ponderada de tres cantidades: una referencia de largo plazo (\(\omega\)), la sorpresa más reciente (\(\varepsilon_{t-1}^2\)) y la propia varianza condicional del día anterior (\(\sigma_{t-1}^2\)). La última restricción, \(\alpha+\beta<1\), es la condición de estacionariedad: sin ella, la varianza no tendería a ningún nivel de largo plazo.
¿Por qué es tan popular esta especificación, con solo tres parámetros, frente a un ARCH(q) con \(q\) potencialmente grande? La respuesta se obtiene sustituyendo recursivamente \(\sigma_{t-1}^2\) por su propia ecuación, y esta a su vez por la suya, tantas veces como se quiera. Un paso de esa sustitución:
\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\big(\omega+\alpha\varepsilon_{t-2}^2+\beta\sigma_{t-2}^2\big) = \omega(1+\beta) + \alpha\varepsilon_{t-1}^2+\alpha\beta\,\varepsilon_{t-2}^2+\beta^2\sigma_{t-2}^2.\]
Repitiendo el proceso \(k\) veces y usando, de nuevo, la identidad de la serie geométrica que ya empleamos en el Capítulo 3 para expresar un AR(1) como un MA(\(\infty\)) —aquí con \(\beta\) en el papel que allí jugaba \(\phi\)—, y haciendo \(k\to\infty\) (lo que exige \(|\beta|<1\), para que \(\beta^k\to0\) y para que \(\omega(1+\beta+\beta^2+\cdots)\) converja a \(\omega/(1-\beta)\)), se obtiene
\[\sigma_t^2 = \frac{\omega}{1-\beta} + \alpha\sum_{i=0}^{\infty}\beta^i\,\varepsilon_{t-1-i}^2.\]
Es decir: un GARCH(1,1) equivale a un ARCH(\(\infty\)) en el que el peso de cada choque pasado decae geométricamente con el tiempo, a un ritmo gobernado por \(\beta\). Con solo dos parámetros (\(\alpha\) y \(\beta\)), el GARCH(1,1) consigue lo mismo que necesitaría infinitos parámetros en un ARCH puro: es, en el mismo sentido que el ARMA lo era frente al AR o al MA puros (Capítulo 3), la especificación parsimoniosa. En la práctica, el GARCH(1,1) resulta adecuado para la inmensa mayoría de series financieras, y rara vez hacen falta órdenes superiores.
9.3.2 Estimación por máxima verosimilitud
A diferencia de un modelo ARMA para la media, la varianza condicional \(\sigma_t^2\) no es una combinación lineal de los datos observados, sino una función recursiva no lineal de los parámetros: no existe una fórmula cerrada, tipo mínimos cuadrados, para estimar \((\omega,\alpha,\beta)\). La estimación se realiza, como ya vimos para los modelos ARMA en el Capítulo 3, por máxima verosimilitud: bajo el supuesto \(z_t\sim N(0,1)\), la contribución de cada observación a la verosimilitud es la densidad de una normal con varianza \(\sigma_t^2(\omega,\alpha,\beta)\) —que depende de los parámetros a través de toda la recursión anterior—, y un algoritmo numérico busca los valores de \((\omega,\alpha,\beta)\) que maximizan el producto (o, en la práctica, la suma de logaritmos) de esas densidades a lo largo de toda la muestra.
| Parámetro | Estimación | Error típico |
|---|---|---|
| mu (media) | 0.000623 | 0.000114 |
| omega | 0.000004 | 0.000001 |
| alpha1 | 0.112649 | 0.007742 |
| beta1 | 0.870314 | 0.008730 |
Los tres coeficientes son claramente significativos. La varianza marginal implícita, aplicando la misma fórmula que dedujimos para el ARCH —ahora con \(\alpha+\beta\) en lugar de \(\alpha\)—, es \(\sigma^2 = \omega/(1-\alpha-\beta) =\) 2.12e-04, lo que equivale a una volatilidad diaria de largo plazo del 1.46% y, aproximando 252 sesiones bursátiles al año (multiplicando la varianza por 252 y tomando raíz cuadrada, bajo el supuesto simplificador de rendimientos incorrelados entre días), a una volatilidad anualizada del 23.1%: una cifra plausible y coherente con la que suele citarse para un índice bursátil como el IBEX 35.
9.3.3 Persistencia de la volatilidad
La suma \(\alpha+\beta\) tiene una interpretación propia: mide la persistencia de un choque de volatilidad, es decir, con qué lentitud se disipa su efecto sobre \(\sigma_t^2\). Puede demostrarse —con el mismo tipo de argumento recursivo de la sección anterior— que el exceso de varianza condicional sobre su nivel de largo plazo se atenúa geométricamente, \((\sigma_t^2-\sigma^2)\approx(\alpha+\beta)^h\) veces su valor \(h\) periodos atrás, exactamente como la FAC de un AR(1) decae como \(\phi^h\) (Capítulo 3). Aquí, \(\alpha+\beta=\) 0.983: extraordinariamente próximo a 1, un resultado habitual en series financieras diarias. El semivida de un choque —el número de periodos hasta que su efecto se reduce a la mitad, resolviendo \((\alpha+\beta)^h=0{,}5\) para \(h\)— es \(h=\ln(0{,}5)/\ln(\alpha+\beta)\approx\) 40 días: un choque de volatilidad en el IBEX tarda más de un mes en disiparse a la mitad.
El caso límite \(\alpha+\beta=1\) se denomina GARCH integrado (IGARCH): la varianza condicional deja de tener un nivel de largo plazo hacia el que revertir —el choque de hoy afecta permanentemente a la varianza futura—, en un paralelismo directo con la raíz unitaria del Capítulo 4, pero aplicado a la varianza en lugar de al nivel de la serie. Con \(\alpha+\beta=\) 0.983, el IBEX está muy cerca de ese límite sin llegar a cruzarlo.
9.4 Extensiones asimétricas
9.4.1 El efecto apalancamiento
El GARCH que acabamos de estimar impone una respuesta simétrica: en la ecuación de \(\sigma_t^2\), solo entra \(\varepsilon_{t-1}^2\), así que un choque negativo (una caída) y uno positivo (una subida) de la misma magnitud producen exactamente el mismo aumento de la varianza condicional del día siguiente. La evidencia empírica en mercados de acciones contradice sistemáticamente este supuesto: las caídas suelen ir seguidas de más volatilidad que las subidas de igual magnitud. La explicación financiera clásica es el efecto apalancamiento (leverage effect): cuando el precio de una acción cae, el valor de mercado del capital de la empresa disminuye mientras su deuda permanece constante, de modo que su ratio de apalancamiento (deuda sobre capital) aumenta, la empresa se percibe más arriesgada, y esa mayor incertidumbre se traduce en más volatilidad futura. Una caída y una subida de la misma magnitud no son, por tanto, intercambiables para la volatilidad esperada.
El contraste de sesgo de signo de Engle y Ng (1993) formaliza esta sospecha: sobre los residuos estandarizados al cuadrado del GARCH simétrico ya estimado, comprueba si el signo y la magnitud de los choques pasados —información que el GARCH simétrico, por construcción, ignora— todavía ayudan a explicar la varianza no capturada por el modelo. El efecto conjunto da un estadístico de 40.7 (p < 0,001): se rechaza con claridad que el GARCH simétrico esté completo, confirmando que hace falta una extensión que distinga la dirección del choque, no solo su magnitud.
9.4.2 Modelo EGARCH (Nelson, 1991)
El EGARCH (Exponential GARCH), de Nelson (1991), modeliza el logaritmo de la varianza condicional en lugar de la varianza en sí:
\[\log(\sigma_t^2) = \omega + \beta\log(\sigma_{t-1}^2) + \alpha\Big(|z_{t-1}|-E|z_{t-1}|\Big) + \gamma\,z_{t-1}.\]
Trabajar en logaritmos tiene una ventaja inmediata: \(\sigma_t^2=\exp(\cdot)\) es automáticamente positiva para cualquier valor de los parámetros, sin necesidad de imponer restricciones de no negatividad como en el ARCH o el GARCH. El término \(\alpha(|z_{t-1}|-E|z_{t-1}|)\) recoge el efecto simétrico habitual (la magnitud del choque, sin importar el signo); el término \(\gamma z_{t-1}\) es el que introduce la asimetría: como \(z_{t-1}\) conserva su signo, un choque negativo y uno positivo de la misma magnitud contribuyen de forma distinta al logaritmo de la varianza siempre que \(\gamma\neq0\).
| Parámetro | Estimación | Error típico |
|---|---|---|
| mu | 0.00027 | 0.00014 |
| omega | -0.22752 | 0.01131 |
| alpha1 | -0.08778 | 0.00577 |
| beta1 | 0.97384 | 0.00127 |
| gamma1 | 0.17193 | 0.01042 |
El coeficiente de asimetría, \(\hat\gamma=\) 0.172, es claramente significativo. La forma más clara de leerlo no es a través de su signo —que depende de la parametrización concreta del paquete usado— sino mediante la curva de impacto de noticias (news impact curve): la varianza condicional del día siguiente, en función de la magnitud y el signo del choque de hoy, con todo lo demás constante.
La asimetría de la Figura 9.3 es contundente: un choque negativo de dos desviaciones típicas eleva la varianza condicional del día siguiente a 0.0606, frente a solo 0.001 para un choque positivo de la misma magnitud —una razón de 59 a 1—. Es la confirmación numérica del efecto apalancamiento: en el IBEX 35, las malas noticias inquietan al mercado mucho más que las buenas noticias equivalentes lo tranquilizan.
9.4.3 Modelo GJR-GARCH (Glosten-Jagannathan-Runkle)
El GJR-GARCH (Glosten, Jagannathan y Runkle, 1993) introduce la asimetría de una forma más directa que el EGARCH, añadiendo al GARCH ordinario un término que se activa solo cuando el choque anterior fue negativo:
\[\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \gamma\,\varepsilon_{t-1}^2\,I_{t-1} + \beta\,\sigma_{t-1}^2, \qquad I_{t-1} = \begin{cases} 1, & \varepsilon_{t-1}<0, \\ 0, & \varepsilon_{t-1}\geq0. \end{cases}\]
Cuando el choque anterior fue positivo (\(I_{t-1}=0\)), el modelo se reduce al GARCH ordinario, con impacto \(\alpha\); cuando fue negativo (\(I_{t-1}=1\)), el impacto total es \(\alpha+\gamma\). Las restricciones de no negatividad pasan a ser \(\omega>0\), \(\alpha\geq0\), \(\alpha+\gamma\geq0\) y \(\beta\geq0\), y la de estacionariedad, \(\alpha+\gamma/2+\beta<1\) (el \(1/2\) aparece porque, en promedio, la mitad de los choques son negativos).
| Parámetro | Estimación | Error típico |
|---|---|---|
| mu | 0.00031 | 0.00011 |
| omega | 0.00000 | 0.00000 |
| alpha1 | 0.03411 | 0.00307 |
| beta1 | 0.88017 | 0.00483 |
| gamma1 (asimetría) | 0.12606 | 0.00410 |
El coeficiente \(\hat\gamma=\) 0.126 es positivo y muy significativo: confirma, con una lectura mucho más directa que la del EGARCH, que los choques negativos añaden un impacto extra sobre la volatilidad —de magnitud \(\hat\gamma\)— que los positivos no tienen. Es la misma conclusión que la curva de impacto de noticias, obtenida por un camino distinto.
9.5 Implementación con rugarch
El paquete rugarch centraliza la especificación, estimación y diagnóstico de toda esta familia de modelos con una interfaz uniforme: ugarchspec() define el modelo (la ecuación de la media y la de la varianza), y ugarchfit() lo estima por máxima verosimilitud. La Cuadro 9.5 resume y compara, por AIC, los tres modelos estimados en este capítulo.
| Modelo | AIC | Asimétrico |
|---|---|---|
| EGARCH(1,1) | -6.0523 | Sí |
| GJR-GARCH(1,1) | -6.0512 | Sí |
| GARCH(1,1) | -6.0323 | No |
Ambas extensiones asimétricas mejoran sobre el GARCH simétrico, y por un margen similar entre sí: la asimetría, no el modelo concreto que la capture, es lo que marca la diferencia. En lo que sigue trabajaremos con el EGARCH, ligeramente preferido por el AIC.
9.6 Aplicaciones en series financieras
Cerremos con la aplicación más directa de todo lo anterior: extraer la trayectoria de volatilidad condicional estimada y compararla con el nivel de largo plazo, para valorar si el mercado está, ahora mismo, más o menos nervioso de lo habitual.
La volatilidad condicional estimada (Figura 9.4) reproduce con fidelidad los episodios ya señalados —máximos muy marcados en 2008 y 2020— sobre un nivel medio de 1.26% diario. En el último dato de la muestra, la volatilidad condicional estimada es del 0.89%, por debajo de su media histórica: el modelo describe un mercado, en ese momento, relativamente tranquilo. Proyectando el EGARCH diez días hacia delante, la volatilidad prevista evoluciona de 1.261% a 1.267%: converge, muy lentamente —coherente con la altísima persistencia estimada—, de vuelta hacia su nivel de largo plazo. Esta capacidad de predecir la volatilidad, y no solo el nivel de la serie, es la base de aplicaciones que veremos en capítulos posteriores: el cálculo del Value at Risk (Capítulo 14) parte, precisamente, de una previsión de \(\sigma_t\) como esta.
NoteGRETL → R
Contraste del efecto ARCH: En Gretl: tras estimar un modelo para la media, Contrastes → Efectos ARCH. En R: regresión auxiliar manual, como en la Cuadro 9.1, o aTSA::arch.test().
Estimar un modelo GARCH: En Gretl: Modelo → Series temporales → GARCH, fijando los órdenes \((p,q)\) y, si procede, un modelo para la media. En R: rugarch::ugarchspec() + rugarch::ugarchfit().
Modelos asimétricos (EGARCH, GJR): En Gretl: en el mismo cuadro de diálogo GARCH, seleccionando la variante asimétrica disponible. En R: ugarchspec(variance.model = list(model = "eGARCH", ...)) o model = "gjrGARCH".
Predicción de la volatilidad: En Gretl: tras estimar, Análisis → Predicciones. En R: rugarch::ugarchforecast(modelo, n.ahead = ...).
9.7 Ejercicios propuestos
- Repita el contraste LM del efecto ARCH sobre el rendimiento del IBEX 35 con \(m=10\) retardos en lugar de 5. ¿Se mantiene la conclusión?
- Estime un GARCH(2,1) y un GARCH(1,2) sobre el rendimiento del IBEX y compárelos, por AIC y BIC, con el GARCH(1,1) de la Cuadro 9.2. ¿Está justificado un orden superior?
- Calcule la curva de impacto de noticias del GJR-GARCH estimado en la Cuadro 9.4 y compare, en \(z=\pm2\), la razón de varianzas con la obtenida para el EGARCH en la sección anterior. ¿Coinciden ambos modelos en la magnitud de la asimetría, además de en su dirección?
- Aplique el contraste LM del efecto ARCH (con \(m=5\)) al tipo de cambio EUR/USD (
data/EURUSD_X.xlsx). ¿Encuentra también evidencia de heteroscedasticidad condicional?
9.8 Soluciones de los ejercicios
1. Contraste LM con \(m=10\). El estadístico es \(\text{LM}=\) 968.9, frente a un valor crítico \(\chi^2_{10}\) al 5% de 18.31: la conclusión no cambia —se rechaza con la misma contundencia la ausencia de efecto ARCH—, y de hecho el estadístico crece con más retardos, señal de que la dependencia en la varianza es persistente y no se agota en los primeros días.
2. GARCH de orden superior. El AIC del GARCH(2,1) es -6.0325 y el del GARCH(1,2) es -6.032, frente a -6.0323 del GARCH(1,1) — una mejora mínima en el mejor de los casos—. Por BIC, que penaliza más la complejidad, el GARCH(1,1) es preferido a ambos (-6.0289 frente a -6.0283 y -6.0278). Igual que en el Capítulo 3 con los modelos ARMA: un orden superior no está justificado si el más sencillo ya recoge la dinámica esencial.
3. Asimetría: GJR frente a EGARCH. La razón de varianzas del GJR-GARCH en \(z=\pm2\) es de 4.52 a 1, frente a la de 59 a 1 del EGARCH. Ambos modelos coinciden en la dirección de la asimetría —los choques negativos elevan más la volatilidad—, pero no en su magnitud: la parametrización exponencial del EGARCH tiende a amplificar más el efecto en los choques extremos que la especificación lineal por tramos del GJR. Es un recordatorio de que, más allá de qué modelo gane por AIC, conviene contrastar la robustez de una conclusión cualitativa —aquí, “existe apalancamiento”— frente a la elección de especificación.
4. Efecto ARCH en el EUR/USD. El estadístico LM sobre el tipo de cambio es 2055.5 (con 5.865 observaciones), muy por encima, de nuevo, del valor crítico \(\chi^2_5\): el EUR/USD también presenta heteroscedasticidad condicional clara. La agrupación de volatilidad no es, por tanto, un fenómeno exclusivo de la renta variable: aparece igualmente en los mercados de divisas, aunque el mecanismo económico del apalancamiento —ligado al balance de una empresa cotizada— no tenga aquí un equivalente tan directo, lo que sugiere que otros factores (intervención de bancos centrales, flujos de capital) pueden generar agrupación de volatilidad por vías distintas.
El código de este capítulo está en
scripts/T09_mST_Script_ARCH_GARCH.R(guion teórico) yscripts/T09_mST_CP_Financiero.R(caso práctico con el IBEX 35).