3 Modelos AR, MA y ARMA
El Capítulo 2 terminó identificando \(\Delta\log(\text{PIB})\) —la tasa de crecimiento trimestral del PIB español— como una serie estacionaria, con un correlograma que decae con rapidez. Este capítulo introduce la familia de modelos que permite explotar esa estructura de dependencia para describir y predecir la serie: los procesos de medias móviles (MA), autorregresivos (AR) y sus combinaciones, los ARMA. Cerraremos el capítulo aplicando estas herramientas a \(\Delta\log(\text{PIB})\): identificaremos, estimaremos y validaremos un modelo concreto para la tasa de crecimiento del PIB español.
3.1 La pregunta central: ¿de qué depende el valor de hoy?
Antes de entrar en las definiciones formales, conviene detenerse en la idea que separa a todos los modelos de este capítulo entre sí, porque es sencilla y, una vez entendida, hace mucho más fácil seguir el desarrollo matemático que sigue. La pregunta es: cuando observamos el valor de una serie hoy, \(Y_t\), ¿de qué depende? Hay dos respuestas posibles, y cada una da lugar a una familia de modelos distinta.
La primera respuesta es: de los valores que la propia variable tomó en el pasado. Si las ventas de una empresa llevan varios trimestres creciendo, lo razonable es esperar que las ventas del próximo trimestre también sean altas: hay una inercia, un impulso que se traslada de un periodo al siguiente. Un modelo que recoge esta idea —el valor de hoy depende de los valores pasados de la misma variable— es un modelo autorregresivo (AR): “auto” porque la variable se explica a partir de sí misma, y “regresivo” porque, formalmente, es una regresión —igual que las de un curso de econometría de corte transversal— en la que el papel de variable explicativa lo ocupan, precisamente, los valores rezagados de la propia variable dependiente, en lugar de otras variables externas.
La segunda respuesta es distinta y, la primera vez que se ve, menos intuitiva: de las sorpresas pasadas, no de los valores pasados. Piénsese en un suceso inesperado —una huelga en un puerto que paraliza las exportaciones durante unas semanas, un corte imprevisto en el suministro de gas, una noticia que dispara la confianza de los consumidores—. Ese suceso no estaba en la información disponible el periodo anterior: es, por definición, una innovación o sorpresa, lo que hasta ahora hemos llamado ruido blanco, \(\varepsilon_t\). Concretamente, \(\varepsilon_t\) es la diferencia entre lo que efectivamente ocurrió y lo que, con la información disponible hasta el periodo anterior, era razonable esperar: si con la información de ayer preveíamos que las exportaciones de este mes rondarían los 100 millones de euros y finalmente han sido 94, la innovación de este periodo es \(\varepsilon_t = 94-100 = -6\). Su efecto se deja notar en el periodo en que ocurre, pero también puede dejar un “eco” que persiste, cada vez más débil, durante algunos periodos más, antes de disiparse por completo —los pedidos pendientes de la huelga tardan en normalizarse, el gasto impulsado por la noticia se prolonga unas semanas—. Un modelo en el que el valor de hoy depende de esas sorpresas pasadas, y no de los niveles pasados de la variable, es un modelo de medias móviles (MA). El nombre es, a primera vista, engañoso: no tiene relación con la media móvil de suavizado del Capítulo 1 (que promediaba la propia serie observada para estimar su tendencia); aquí “media móvil” significa que \(Y_t\) se construye como una combinación —una media ponderada— de innovaciones, no de valores observados.
La diferencia, en una frase, es esta: un AR tiene memoria de sus propios valores; un MA tiene memoria de sus sorpresas. Conviene tenerla presente, porque las dos secciones siguientes desarrollan, con todo el rigor, precisamente estas dos ideas.
3.2 Procesos de medias móviles (MA)
Un proceso de medias móviles expresa la variable de interés como una combinación lineal, finita, de innovaciones de ruido blanco presentes y pasadas —las “sorpresas” de la sección anterior—. Volvamos al ejemplo del corte de suministro energético: supongamos que afecta a la producción industrial este trimestre y, en menor medida, también al siguiente (las empresas tardan en recomponer existencias y en servir los pedidos atrasados), pero ya no dice nada sobre el trimestre posterior a ese. Si \(\varepsilon_t\) es la magnitud del choque —positivo si fue una sorpresa favorable, negativo si fue adversa—, un modelo MA describe exactamente esta idea: el valor de hoy recoge el choque de hoy más un eco (atenuado) del choque de ayer, y nada más allá de eso. A diferencia de los procesos autorregresivos que veremos después, un MA es siempre estacionario, cualquiera que sea el valor de sus parámetros: es una suma finita de variables de varianza finita, y una suma finita de términos de varianza acotada no puede “explotar” ni acumular una tendencia.
3.2.1 El proceso MA(1)
El proceso de medias móviles de orden 1 se define como
\[Y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta\,\varepsilon_{t-1}, \qquad \varepsilon_t \sim \text{RB}(0,\sigma^2).\]
Sus momentos se obtienen tomando esperanzas y varianzas directamente sobre la definición, apoyándonos en que \(\varepsilon_t\) y \(\varepsilon_{t-1}\) son ruido blanco y, por tanto, no están correlacionados entre sí (el valor de un “sobresalto” no dice nada sobre el sobresalto del periodo anterior):
- Media: tomando esperanzas en la ecuación de definición, \(E[Y_t] = E[\mu] + E[\varepsilon_t] + \theta\,E[\varepsilon_{t-1}] = \mu + 0 + \theta\cdot 0 = \mu\), porque el ruido blanco tiene media nula en todo instante.
- Varianza: como \(\varepsilon_t\) y \(\varepsilon_{t-1}\) no están correlacionados, la varianza de su suma es la suma de sus varianzas (no hay término cruzado): \(\operatorname{Var}(Y_t) = \operatorname{Var}(\varepsilon_t) + \theta^2\operatorname{Var}(\varepsilon_{t-1}) = \sigma^2+\theta^2\sigma^2 = \sigma^2(1+\theta^2)\). Llamamos a este valor \(\gamma_0\), la autocovarianza de orden 0 (que no es otra cosa que la varianza).
- Autocovarianza de orden 1: \(\gamma_1 = \operatorname{Cov}(Y_t,Y_{t-1}) = \operatorname{Cov}(\varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1},\ \varepsilon_{t-1}+\theta\varepsilon_{t-2})\). Al desarrollar esta covarianza término a término, todos los productos se anulan salvo uno: \(\varepsilon_t\) no covaría ni con \(\varepsilon_{t-1}\) ni con \(\varepsilon_{t-2}\) (son ruido blanco en instantes distintos), y \(\varepsilon_{t-1}\) tampoco con \(\varepsilon_{t-2}\); el único término que sobrevive es el que combina \(\theta\varepsilon_{t-1}\) (de \(Y_t\)) con \(\varepsilon_{t-1}\) (de \(Y_{t-1}\)), que aparecen en ambas expresiones. Ese término da \(\gamma_1 = \theta\operatorname{Var}(\varepsilon_{t-1}) = \theta\sigma^2\).
- Autocovarianzas de orden 2 en adelante: para \(k\geq 2\), \(Y_t\) e \(Y_{t-k}\) ya no comparten ningún término de ruido blanco (el más “reciente” de \(Y_{t-k}\) es \(\varepsilon_{t-k-1}\), y el más “antiguo” de \(Y_t\) es \(\varepsilon_{t-1}\)), así que \(\gamma_k=0\).
En resumen:
\[E[Y_t] = \mu, \qquad \operatorname{Var}(Y_t) = \gamma_0 = \sigma^2(1+\theta^2),\] \[\gamma_1 = \operatorname{Cov}(Y_t, Y_{t-1}) = \theta\,\sigma^2, \qquad \gamma_k = 0 \ \ \forall k \geq 2.\]
De donde la FAC teórica es
\[\rho_1 = \frac{\theta}{1+\theta^2}, \qquad \rho_k = 0 \ \ \forall k \geq 2.\]
La Figura 3.1 simula un MA(1) con \(\theta = 0{,}6\) y compara la FAC muestral con el valor teórico \(\rho_1\).
Con \(\theta = 0{,}6\), el valor teórico es \(\rho_1 = \theta/(1+\theta^2) =\) 0.441, muy próximo al valor muestral obtenido, 0.417. A partir del retardo 2, tanto la teoría como el correlograma muestran coeficientes prácticamente nulos: esta es la firma que identifica a un MA(1).
3.2.2 El proceso MA(q)
La generalización a \(q\) retardos es
\[Y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \theta_2\varepsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q\varepsilon_{t-q}.\]
Como suma finita de términos de ruido blanco, el proceso es estacionario para cualquier combinación de parámetros \((\theta_1,\dots,\theta_q)\), con varianza \(\gamma_0 = \sigma^2\left(1+\theta_1^2+\cdots+\theta_q^2\right)\).
3.2.3 FAC teórica de un proceso MA
Para un MA(q), la autocovarianza de orden \(k\) es
\[\gamma_k = \sigma^2\sum_{i=0}^{q-k}\theta_i\,\theta_{i+k}, \qquad k = 1,\dots,q \quad (\theta_0 \equiv 1),\]
y \(\gamma_k = 0\) para \(k > q\). La propiedad clave, y la que hace operativa la identificación, es que la FAC de un MA(q) se anula por completo a partir del retardo \(q+1\): basta observar en qué retardo “se corta” el correlograma para leer directamente el orden del proceso.
3.3 Procesos autorregresivos (AR)
Un proceso autorregresivo expresa el valor presente de la serie como una combinación lineal de sus propios valores pasados más una innovación de ruido blanco. Retomando el ejemplo de las ventas de una empresa: si las ventas de este trimestre han sido altas, es razonable esperar que las del próximo también lo sean, no porque un choque puntual se esté disipando poco a poco (esa era la lógica del MA), sino porque el propio nivel de la variable tiene inercia —la empresa mantiene la producción, la plantilla y los pedidos en marcha de un trimestre a otro—. Esa inercia es precisamente lo que captura el coeficiente \(\phi\) del modelo AR que se define a continuación: mide qué fracción del nivel de hoy se traslada, en promedio, al periodo siguiente. A diferencia del MA, un AR no siempre es estacionario: si esa fracción es demasiado grande (formalmente, si \(|\phi|\geq1\)), cada choque no solo persiste sino que se amplifica de periodo en periodo, y la serie no converge a ningún comportamiento estable; la estacionariedad impone, por tanto, una restricción sobre el parámetro \(\phi\), que precisaremos enseguida.
3.3.1 El proceso AR(1)
El proceso autorregresivo de orden 1 se define como
\[Y_t = c + \phi\,Y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim \text{RB}(0,\sigma^2).\]
Si \(|\phi| < 1\), el proceso es estacionario. A diferencia del MA, aquí \(Y_{t-1}\) aparece a ambos lados de la ecuación (una vez explícitamente, y otra escondida dentro de \(Y_t\) del periodo siguiente), así que para obtener sus momentos no basta con tomar esperanzas directamente: hace falta apoyarse en que, bajo estacionariedad, \(Y_t\) e \(Y_{t-1}\) comparten la misma media y la misma varianza (no dependen de \(t\)).
- Media: tomando esperanzas en \(Y_t = c+\phi Y_{t-1}+\varepsilon_t\), y usando que \(E[Y_t]=E[Y_{t-1}]=\mu\) y \(E[\varepsilon_t]=0\), se obtiene \(\mu = c+\phi\mu\). Despejando \(\mu\): \(\mu(1-\phi)=c\), luego \(\mu = c/(1-\phi)\) —lo que exige \(\phi\neq1\), coherente con que \(|\phi|<1\)—.
- Varianza: como \(\varepsilon_t\) es una innovación nueva en el periodo \(t\), no correlacionada con nada anterior a \(t\) (y en particular con \(Y_{t-1}\), que solo depende de \(\varepsilon_{t-1},\varepsilon_{t-2},\dots\)), tomando varianzas se obtiene \(\operatorname{Var}(Y_t) = \phi^2\operatorname{Var}(Y_{t-1}) + \operatorname{Var}(\varepsilon_t)\), es decir, \(\gamma_0 = \phi^2\gamma_0+\sigma^2\) (usando de nuevo que \(\operatorname{Var}(Y_t)=\operatorname{Var}(Y_{t-1})=\gamma_0\) bajo estacionariedad). Despejando: \(\gamma_0(1-\phi^2)=\sigma^2\), luego \(\gamma_0 = \sigma^2/(1-\phi^2)\).
- Autocovarianzas: multiplicando la ecuación del AR(1) por \(Y_{t-k}\) (para \(k\geq1\)) y tomando esperanzas, el término del ruido blanco se anula (por la misma razón que antes) y queda la relación recursiva \(\gamma_k = \phi\,\gamma_{k-1}\). Aplicándola repetidamente desde \(\gamma_0\) se obtiene \(\gamma_k = \phi^k\gamma_0\).
En resumen:
\[\mu = \frac{c}{1-\phi}, \qquad \gamma_0 = \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}, \qquad \gamma_k = \phi^k\,\gamma_0,\]
de donde la FAC teórica es \(\rho_k = \phi^k\): un decrecimiento geométrico, tanto más lento cuanto más próximo esté \(\phi\) a la unidad. Ya en el Capítulo 2 (Figura 2.1) simulamos cuatro trayectorias de un AR(1) con \(\phi = 0{,}7\); retomamos ese mismo proceso en la Figura 3.2 para examinar conjuntamente su FAC y su FACP.
3.3.2 El proceso AR(p): condición de estacionariedad
El proceso autorregresivo de orden \(p\) se escribe, con el operador de retardos, como
\[\phi(L)\,Y_t = c + \varepsilon_t, \qquad \phi(L) = 1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2 - \cdots - \phi_p L^p.\]
La condición de estacionariedad generaliza la del AR(1): el proceso es estacionario si y solo si todas las raíces del polinomio característico \(\phi(z) = 0\) caen fuera del círculo unidad, es decir, \(|z_i| > 1\) para toda raíz \(z_i\). Para el AR(1), \(\phi(z) = 1-\phi z = 0 \Rightarrow z = 1/\phi\), y \(|z|>1 \Leftrightarrow |\phi|<1\): la condición conocida.
3.3.3 FACP teórica de un proceso AR
La Figura 3.2 ya lo mostró para \(p=1\): la FACP de un AR(p) se anula a partir del retardo \(p\) (\(\phi_{kk}=0\) para \(k>p\)), mientras que su FAC decae de forma continua —geométrica si las raíces son reales, u oscilante amortiguada (sinusoidal) si son complejas—. Es la imagen especular del MA: donde el MA “se corta” en la FAC, el AR “se corta” en la FACP.
3.4 Procesos mixtos ARMA
3.4.1 El teorema de descomposición de Wold
El teorema de Wold garantiza que todo proceso estacionario puramente no determinista —es decir, sin ningún componente que pueda predecirse con certeza absoluta a partir de su propio pasado, de modo que siempre queda una parte genuinamente aleatoria— admite una representación como un MA de orden infinito:
\[Y_t - \mu = \sum_{i=0}^{\infty}\psi_i\,\varepsilon_{t-i}, \qquad \psi_0 = 1, \qquad \sum_{i=0}^{\infty}\psi_i^2 < \infty.\]
Este resultado es la justificación teórica última de los modelos ARMA: cualquier proceso estacionario puede aproximarse arbitrariamente bien mediante una combinación finita y parsimoniosa de términos autorregresivos y de medias móviles, sin necesidad de estimar infinitos parámetros.
3.4.2 De AR(1) a MA(∞): la demostración con el operador de retardos
El teorema de Wold garantiza que la representación MA(\(\infty\)) existe, pero no dice cómo obtenerla a partir de un AR concreto. Para el caso más sencillo, el AR(1), sí podemos construirla explícitamente, y el resultado es instructivo: confirma “desde dentro” lo que Wold garantiza en general. Partimos de la ecuación del AR(1) escrita con el operador de retardos (Capítulo 2), y en desviaciones respecto a la media (para aligerar la notación, sea \(\tilde Y_t = Y_t-\mu\)):
\[(1-\phi L)\,\tilde Y_t = \varepsilon_t.\]
Formalmente, “despejar” \(\tilde Y_t\) exige invertir el operador \((1-\phi L)\), es decir, encontrar aquel operador que, multiplicado por \((1-\phi L)\), devuelve 1. Aquí es donde resulta útil una identidad conocida de las series geométricas: para cualquier número \(x\) con \(|x|<1\), \((1-x)^{-1} = 1+x+x^2+x^3+\cdots\) (una serie infinita, pero convergente precisamente porque \(|x|<1\)). El operador de retardos se comporta, a estos efectos, como un número más dentro de la expresión, así que si \(|\phi|<1\) —la condición de estacionariedad del AR(1)— podemos aplicar la misma identidad con \(x=\phi L\):
\[(1-\phi L)^{-1} = 1 + \phi L + \phi^2 L^2 + \phi^3 L^3 + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty}\phi^i L^i.\]
Aplicando este operador a ambos lados de la ecuación original, \(\tilde Y_t = (1-\phi L)^{-1}\varepsilon_t\), y recordando que \(L^i\varepsilon_t = \varepsilon_{t-i}\), se obtiene
\[Y_t - \mu = \sum_{i=0}^{\infty}\phi^i\,\varepsilon_{t-i} = \varepsilon_t + \phi\,\varepsilon_{t-1} + \phi^2\,\varepsilon_{t-2} + \cdots,\]
que es exactamente la representación de Wold del AR(1), con \(\psi_i = \phi^i\). Nótese que la condición que hace converger la serie geométrica, \(|\phi|<1\), es la misma condición de estacionariedad del AR(1) que ya conocíamos: no es casualidad, sino la misma restricción vista desde dos ángulos distintos. El argumento se generaliza, con más álgebra pero la misma idea, a cualquier AR(p) estacionario: todo proceso AR estacionario, de orden finito, admite una representación MA de orden infinito.
3.4.3 El proceso ARMA(p,q)
En la práctica, muchas series económicas muestran ambos comportamientos a la vez: tienen inercia en el nivel, como un AR, y a la vez arrastran el eco de sorpresas recientes, como un MA. Pensemos en el precio diario del petróleo: tiene inercia obvia (el precio de mañana suele partir muy cerca del de hoy, no da saltos porque sí), pero además, cuando ocurre una noticia inesperada —una decisión de la OPEP, una tensión geopolítica—, su efecto no se agota instantáneamente, sino que persiste unos días mientras el mercado termina de digerirla. Para describir un proceso así hace falta combinar ambas estructuras, lo que da lugar al proceso mixto autorregresivo de medias móviles:
\[\phi(L)\,Y_t = c + \theta(L)\,\varepsilon_t,\] \[\phi(L) = 1-\phi_1L-\cdots-\phi_pL^p, \qquad \theta(L) = 1+\theta_1L+\cdots+\theta_qL^q.\]
El atractivo del ARMA es la parsimonia: procesos que requerirían un AR o un MA de orden muy elevado para representarse bien pueden a menudo describirse con un ARMA de pocos parámetros, gracias a que las partes AR y MA capturan conjuntamente la dependencia con menos coeficientes.
3.4.4 Invertibilidad
Así como la estacionariedad restringe los parámetros AR, la invertibilidad restringe los parámetros MA: exige que todas las raíces de \(\theta(z) = 0\) caigan fuera del círculo unidad. Para el MA(1), \(\theta(z) = 1+\theta z = 0 \Rightarrow z = -1/\theta\), y la condición \(|z|>1\) equivale a \(|\theta|<1\).
La invertibilidad no es un tecnicismo: un MA no invertible admite una representación AR(\(\infty\)) que no converge, y además existe un problema de identificación, pues un MA(1) con parámetro \(\theta\) genera exactamente la misma FAC que uno con parámetro \(1/\theta\). Por convención, los algoritmos de estimación (también Arima() en R) siempre devuelven la solución invertible.
3.4.5 De MA(1) a AR(∞): la contrapartida
La sección anterior mostró que un AR(1) estacionario puede reescribirse como un MA(\(\infty\)). La relación inversa —cuándo un MA puede reescribirse como un AR(\(\infty\))— es exactamente el papel que juega la invertibilidad, y se demuestra con el mismo truco algebraico. Partiendo del MA(1) en desviaciones a la media y con el operador de retardos,
\[\tilde Y_t = (1+\theta L)\,\varepsilon_t,\]
“despejar” \(\varepsilon_t\) exige ahora invertir \((1+\theta L)\). Aplicando de nuevo la identidad de la serie geométrica, esta vez con \(x=-\theta L\): si \(|\theta|<1\) —la condición de invertibilidad—, entonces
\[(1+\theta L)^{-1} = 1-\theta L+\theta^2L^2-\theta^3L^3+\cdots = \sum_{i=0}^{\infty}(-\theta)^i L^i,\]
de modo que \(\varepsilon_t = (1+\theta L)^{-1}\tilde Y_t\), es decir,
\[\varepsilon_t = \tilde Y_t - \theta\,\tilde Y_{t-1} + \theta^2\,\tilde Y_{t-2} - \theta^3\,\tilde Y_{t-3} + \cdots,\]
o, despejando \(Y_t\) (sumando \(\theta \tilde Y_{t-1} - \theta^2\tilde Y_{t-2}+\cdots\) a ambos lados y reordenando), un AR(\(\infty\)) con coeficientes \(-(-\theta)^i\) decreciendo geométricamente. Igual que antes, la condición que hace converger la serie, \(|\theta|<1\), es precisamente la condición de invertibilidad: de nuevo, la misma restricción, vista ahora desde el lado de la representación autorregresiva. Es esta representación la que justifica, en la práctica, por qué conviene siempre trabajar con la solución invertible: solo ella permite escribir el presente en función del pasado observado de la propia serie, que es, al fin y al cabo, la forma natural de predecir.
3.5 Identificación, estimación y validación
3.5.1 Identificación mediante FAC y FACP
El comportamiento teórico de la FAC y la FACP —resumido en la Cuadro 3.1— es la base del método de Box-Jenkins para identificar el orden de un modelo a partir del correlograma muestral.
| Proceso | FAC | FACP |
|---|---|---|
| AR(p) | Decae (geométrica o sinusoidal amortiguada) | Se corta en el retardo p |
| MA(q) | Se corta en el retardo q | Decae (geométrica o sinusoidal amortiguada) |
| ARMA(p,q) | Decae | Decae |
Apliquemos el criterio a \(\Delta\log(\text{PIB})\). La Figura 3.3 muestra su FAC y FACP muestrales.
El único coeficiente que sobresale de las bandas \(\pm\) 0.181 es el de retardo 1, con \(\hat\rho_1 =\) -0.191; a partir de ahí, tanto la FAC como la FACP oscilan dentro de las bandas sin un patrón claro de decrecimiento. Este comportamiento —un único coeficiente significativo en la FAC, seguido de silencio— es la firma característica de un MA(1), y es el modelo que estimaremos a continuación.
3.5.2 Estimación por máxima verosimilitud
Los coeficientes de un modelo ARMA se estiman por máxima verosimilitud (MLE, del inglés maximum likelihood estimation). La verosimilitud es, para unos parámetros dados, la probabilidad (o densidad de probabilidad) de haber observado precisamente los datos que tenemos; el método de máxima verosimilitud elige, de entre todos los valores posibles de los parámetros, aquellos que hacen más probable haber observado esta muestra concreta. En la práctica se maximiza la verosimilitud condicional o exacta de los datos bajo el supuesto de que las innovaciones son ruido blanco gaussiano, \(\varepsilon_t \sim N(0,\sigma^2)\). En R, forecast::Arima() implementa este ajuste (por defecto combina mínimos cuadrados condicionales para los valores iniciales con máxima verosimilitud exacta, method = "CSS-ML"). La Cuadro 3.2 muestra el resultado de estimar el MA(1) identificado sobre \(\Delta\log(\text{PIB})\).
| Parametro | Estimacion | Error tipico |
|---|---|---|
| theta1 | -0.2135 | 0.0908 |
| mu | 0.0049 | 0.0017 |
El coeficiente estimado, \(\hat\theta_1 =\) -0.214, es negativo y significativo (su error típico es pequeño en relación con la estimación), y cumple la condición de invertibilidad (\(|\hat\theta_1|<1\)). La media estimada de la tasa de crecimiento trimestral es \(\hat\mu =\) 0.49%.
3.5.3 Diagnóstico de residuos
Un modelo bien especificado deja residuos indistinguibles del ruido blanco: si quedara autocorrelación en ellos, el modelo estaría dejando estructura sin explicar. La Figura 3.4 muestra los residuos estandarizados del MA(1) y su correlograma.
El contraste de Ljung-Box sobre los residuos (Cuadro 3.3) confirma la impresión gráfica.
| Estadístico Q | g.l. | p-valor |
|---|---|---|
| 1.761 | 7 | 0.972 |
Con un p-valor de 0.972, muy por encima de cualquier nivel de significatividad habitual, no se rechaza la ausencia de autocorrelación en los residuos: el MA(1) recoge adecuadamente la dependencia lineal de \(\Delta\log(\text{PIB})\).
3.6 Criterios de información: AIC y BIC
Cuando varios modelos superan el diagnóstico de residuos, es necesario un criterio para elegir entre ellos. Los más utilizados son el criterio de información de Akaike (AIC) y el criterio bayesiano de Schwarz (BIC):
\[\text{AIC} = -2\ln(\hat L) + 2k, \qquad \text{BIC} = -2\ln(\hat L) + k\ln(T),\]
donde \(\hat L\) es la verosimilitud maximizada, \(k\) el número de parámetros estimados (coeficientes AR y MA, constante y varianza del error) y \(T\) el tamaño muestral. Ambos penalizan la sobreparametrización, pero el BIC lo hace con más severidad cuando \(T\) es grande (\(\ln T > 2\) para \(T>7\)), por lo que tiende a seleccionar modelos más parsimoniosos que el AIC. En ambos, menor valor indica mejor modelo.
La Cuadro 3.4 compara, sobre \(\Delta\log(\text{PIB})\), el MA(1) seleccionado frente a otras especificaciones razonables a la vista del correlograma.
| Modelo | AIC | BIC |
|---|---|---|
| MA(1) | -535.57 | -527.28 |
| AR(1) | -534.90 | -526.61 |
| AR(2) | -534.16 | -523.11 |
| MA(2) | -533.67 | -522.62 |
| ARMA(1,1) | -533.62 | -522.57 |
El MA(1) obtiene el mejor (menor) valor tanto de AIC como de BIC entre los candidatos considerados: ningún parámetro adicional —un segundo retardo AR o MA, o su combinación— mejora lo suficiente el ajuste como para compensar la penalización por complejidad. El principio de parsimonia y los criterios de información coinciden aquí con la lectura directa del correlograma: \(\Delta\log(\text{PIB})\) se describe adecuadamente con un único parámetro de dependencia.
NoteGRETL → R
Estimar un modelo ARMA: En Gretl: Serie → Modelos de series temporales → ARIMA, fijando \(d=0\) y los órdenes \(p\), \(q\). En R: forecast::Arima(y, order = c(p, 0, q), include.mean = TRUE).
Consultar AIC / BIC de un modelo estimado: En Gretl: aparecen en la salida de la estimación. En R: AIC(modelo), BIC(modelo), o broom::glance(modelo).
Diagnóstico de residuos tras estimar: En Gretl: Contrastes → Autocorrelación sobre el modelo estimado. En R: Box.test(residuals(modelo), lag = ..., type = "Ljung-Box", fitdf = p + q).
Raíces del polinomio característico (estacionariedad/invertibilidad): En Gretl: se muestran automáticamente tras estimar un ARMA (raíces AR y MA, con su módulo). En R: polyroot(c(1, -phi1, -phi2, ...)); o, sobre un modelo ya estimado, autoplot(modelo) (paquete forecast) dibuja las raíces frente al círculo unidad.
3.7 Ejercicios propuestos
- Simule 300 observaciones de un MA(1) con \(\theta = -0{,}5\). Calcule el valor teórico de \(\rho_1\) y compárelo con la FAC muestral obtenida.
- Considere el proceso AR(2): \(Y_t = 0{,}5\,Y_{t-1} + 0{,}3\,Y_{t-2} + \varepsilon_t\). Compruebe si es estacionario hallando las raíces de su polinomio característico.
- Sobre \(\Delta\log(\text{PIB})\), ajuste además un ARMA(2,1) y añádalo a la comparación de la Cuadro 3.4. ¿Cambia el modelo preferido por el AIC? ¿Y por el BIC?
- Ajuste un AR(1) a \(\Delta\log(\text{PIB})\) y realice el diagnóstico de residuos con el contraste de Ljung-Box a 12 retardos. Compárelo con el del MA(1) obtenido en el texto (también a 12 retardos).
3.8 Soluciones de los ejercicios
1. MA(1) con \(\theta = -0{,}5\). El valor teórico es \(\rho_1 = \theta/(1+\theta^2) =\) -0.4. Sobre la serie simulada, la FAC muestral en el retardo 1 es -0.462, próxima al valor teórico; la pequeña discrepancia es error muestral. La Figura 3.5 confirma que, más allá del retardo 1, la FAC no muestra estructura.
2. Estacionariedad del AR(2). El polinomio característico es \(\phi(z) = 1-0{,}5z-0{,}3z^2=0\). Sus raíces son 1.174 y -2.84, con módulos 1.174 y 2.84. Como ambos módulos superan la unidad, el proceso es estacionario.
3. ARMA(2,1) añadido a la comparación. Al incorporar el ARMA(2,1) a la Cuadro 3.4, el modelo preferido por el AIC sigue siendo el MA(1), y también por el BIC el MA(1). La complejidad adicional del ARMA(2,1) (tres parámetros de dependencia frente a uno) no se traduce en una mejora del ajuste que compense la penalización de ninguno de los dos criterios: el MA(1) sigue siendo la especificación preferida.
4. AR(1) frente a MA(1): diagnóstico a 12 retardos. El AR(1) estimado sobre \(\Delta\log(\text{PIB})\) tiene \(\hat\phi =\) -0.189. Su contraste de Ljung-Box a 12 retardos da \(Q =\) 2.66 (p = 0.994), frente a \(Q =\) 1.807 (p = 0.999) del MA(1). Ambos modelos pasan el diagnóstico sin problemas —ninguno deja autocorrelación significativa en los residuos—, pero el MA(1) sigue siendo preferible por AIC/BIC (Cuadro 3.4): entre dos modelos igualmente válidos desde el punto de vista del diagnóstico, el principio de parsimonia decide.
El código de este capítulo está en
scripts/T03_mST_Script_ModelosARMA.R(guion teórico) yscripts/T03_mST_CP_Macro.R(caso práctico con el PIB).