4 Raíces Unitarias y Cambios Estructurales
Los Capítulos 2 y 3 dieron por buena, sin demostrarlo formalmente, la afirmación de que \(\log(\text{PIB})\) es no estacionario mientras que \(\Delta\log(\text{PIB})\) sí lo es. Este capítulo proporciona el aparato formal —los contrastes de raíces unitarias— para justificar esa afirmación, y añade una complicación real: el PIB español atravesó, en el periodo muestral, una crisis financiera (2008) y una pandemia (2020) que dejaron cambios estructurales en la serie. Veremos que ambos fenómenos, raíz unitaria y ruptura estructural, están más relacionados de lo que parece: ignorar una ruptura puede hacer que un contraste de raíz unitaria concluya erróneamente que una serie no es estacionaria.
4.1 No estacionariedad en varianza: transformación Box-Cox
La familia de transformaciones de Box-Cox generaliza el logaritmo como herramienta para estabilizar la varianza:
\[y_t^{(\lambda)} = \begin{cases} \dfrac{y_t^{\lambda}-1}{\lambda}, & \lambda \neq 0, \\[4pt] \log(y_t), & \lambda = 0. \end{cases}\]
El parámetro \(\lambda\) se estima habitualmente por dos vías: el método de Guerrero (1994), que divide la serie en subperiodos y busca el \(\lambda\) que minimiza el coeficiente de variación de cada subperiodo (la desviación típica dividida entre la media, una medida de dispersión relativa que permite comparar tramos con niveles distintos), o la máxima verosimilitud bajo normalidad de los residuos de un modelo ajustado a la serie transformada.
Sobre el PIB en niveles, el método de Guerrero sugiere \(\lambda \approx\) -1, mientras que el de máxima verosimilitud sugiere \(\lambda \approx\) 2: discrepan notablemente, y ninguno de los dos coincide exactamente con \(\lambda = 0\) (el logaritmo). Esto no es un fallo del procedimiento: los criterios automáticos de selección de \(\lambda\) son poco robustos en series con rupturas estructurales pronunciadas —como la que introduce la caída del PIB en 2020—, que distorsionan el criterio de variación por subperiodos. En la práctica econométrica se opta casi siempre por \(\lambda = 0\), no porque sea el óptimo numérico de ningún criterio, sino porque \(\Delta\log(y_t) \approx\) tasa de crecimiento, una interpretación económica que ninguna otra transformación ofrece con la misma naturalidad. Es el criterio que hemos venido empleando desde el Capítulo 2 y el que mantendremos en todo el manual.
4.2 Tendencias deterministas y tendencias estocásticas
Una serie con tendencia puede generarse de dos maneras radicalmente distintas, con consecuencias muy diferentes para su tratamiento estadístico.
Tendencia determinista (proceso TS, trend-stationary):
\[Y_t = \alpha + \beta t + u_t, \qquad u_t \text{ estacionario (p. ej. AR(p))}.\]
Tendencia estocástica (proceso DS, difference-stationary, o paseo aleatorio con deriva):
\[Y_t = \mu + Y_{t-1} + \varepsilon_t = Y_0 + \mu t + \sum_{i=1}^{t}\varepsilon_i.\]
La diferencia crucial está en cómo responde cada proceso a una perturbación. En el proceso TS, un choque en \(u_t\) se disipa con el tiempo (la serie revierte a su tendencia determinista \(\alpha+\beta t\)); en el proceso DS, el choque se incorpora permanentemente al nivel de la serie, porque queda atrapado dentro de la suma acumulada. La Figura 4.1 ilustra esta diferencia inyectando el mismo choque, en el mismo instante, a una realización de cada tipo de proceso.
La distinción tiene una consecuencia práctica directa: un proceso TS se estacionariza eliminando la tendencia (regresión sobre \(t\) y trabajando con los residuos), mientras que un proceso DS se estacionariza diferenciando. Aplicar el tratamiento equivocado tiene coste: diferenciar una serie TS introduce una raíz unitaria de medias móviles no invertible (sobrediferenciación); detrender una serie DS no elimina la no estacionariedad, porque la tendencia estocástica sigue presente en el residuo. Distinguir entre ambos tipos de proceso —que es exactamente lo que hace un contraste de raíz unitaria— es, por tanto, un paso obligado antes de modelizar.
4.3 Procesos integrados I(d)
Se dice que una serie \(Y_t\) es integrada de orden \(d\), \(Y_t \sim I(d)\), si \(\Delta^d Y_t\) es estacionaria pero \(\Delta^{d-1}Y_t\) no lo es: hacen falta exactamente \(d\) diferenciaciones para alcanzar la estacionariedad. Un proceso \(I(0)\) es estacionario en niveles; un proceso \(I(1)\) —el caso más frecuente en macroeconomía— tiene una raíz unitaria en su representación AR y se estacionariza con una diferencia. Los procesos \(I(1)\) comparten dos propiedades que los distinguen radicalmente de los \(I(0)\): la varianza de las predicciones crece sin límite con el horizonte, y los choques tienen efecto permanente, como acaba de mostrar la Figura 4.1 para el proceso DS. Determinar el orden de integración de \(\log(\text{PIB})\) —¿es \(I(0)\)? ¿\(I(1)\)?— es precisamente el objetivo de los contrastes que siguen.
4.3.1 Procesos de memoria larga: cuando \(d\) no es un entero
La definición anterior da por hecho que \(d\) es un número entero —normalmente 0 o 1—, pero nada impide, al menos formalmente, permitir que \(d\) tome valores fraccionarios. Un proceso \(I(1)\) tiene “memoria larga” en un sentido informal: su correlograma decae muy despacio (Capítulo 2), porque un choque de hoy sigue influyendo, sin apenas atenuarse, en el valor de dentro de muchos periodos. Existe, sin embargo, una categoría intermedia de procesos —ni estacionarios de memoria corta, como un ARMA, ni con raíz unitaria— que comparten con el \(I(1)\) ese decaimiento lento del correlograma, pero sin dejar de ser estacionarios: son los procesos de memoria larga, o ARFIMA(p,d,q) (fractionally integrated ARMA), en los que el orden de diferenciación \(d\) puede ser cualquier número real, no solo un entero. Formalmente, \((1-L)^d Y_t\) se define, para \(d\) no entero, mediante una expansión binomial infinita del operador \((1-L)^d\) —una generalización directa de la misma idea de expansión de operadores que hemos usado ya con el operador de retardos—. Puede demostrarse que:
- Si \(0 < d < 0{,}5\), el proceso es estacionario, pero con una FAC que decae de forma hiperbólica (mucho más lenta que la geométrica de un ARMA estacionario, aunque no tan persistente como la de un \(I(1)\)).
- Si \(d \geq 0{,}5\), el proceso deja de ser estacionario, igual que un \(I(1)\) ordinario cuando \(d=1\).
Este manual no desarrolla la estimación ni el contraste formal de estos modelos —se retoman, con las herramientas necesarias, en el Capítulo 16, dentro del bloque dedicado a las series financieras, donde la memoria larga aparece de forma natural al estudiar la volatilidad—; baste aquí con saber que existen, y con no confundir un correlograma que decae lentamente por una raíz unitaria genuina con uno que decae lentamente por memoria larga fraccionaria: son fenómenos distintos, y requieren contrastes distintos para diferenciarlos.
4.4 Contraste de Dickey-Fuller aumentado (ADF)
El contraste ADF (Dickey y Fuller, 1979; aumentado por Said y Dickey, 1984) parte de la regresión
\[\Delta Y_t = \alpha + \beta t + \gamma\,Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p}\phi_i\,\Delta Y_{t-i} + \varepsilon_t,\]
y contrasta \(H_0: \gamma = 0\) (raíz unitaria) frente a \(H_1: \gamma < 0\) (estacionariedad). Los términos deterministas (\(\alpha\), \(\beta t\)) se incluyen o no según el aspecto de la serie: con tendencia visible (como \(\log(\text{PIB})\)), se incluyen ambos —el caso type = "trend" en urca::ur.df()—; sin tendencia pero con media distinta de cero (como \(\Delta\log(\text{PIB})\)), solo la constante —type = "drift"—. Los retardos aumentados \(\Delta Y_{t-i}\) blanquean los residuos de autocorrelación (de ahí lo de “aumentado” en el nombre del contraste: son la ampliación, respecto al Dickey-Fuller original, que permite que el error no sea ruido blanco puro); su número se selecciona minimizando el AIC. El estadístico del contraste es, como en cualquier contraste de significatividad individual, el coeficiente estimado dividido entre su error estándar, \(\hat\gamma/\text{ee}(\hat\gamma)\) —aquí “ee” abrevia precisamente “error estándar”—, pero bajo \(H_0\) no sigue una distribución \(t\) estándar —porque \(Y_{t-1}\) es no estacionaria bajo la hipótesis nula—, sino la distribución no estándar de Dickey-Fuller, con valores críticos tabulados (más negativos que los de la \(t\) habitual).
Aplicado a \(\log(\text{PIB})\) con tendencia y selección automática de retardos, el estadístico es \(\tau_3 =\) -2.139, frente al valor crítico al 5% de -3.43 (Cuadro 4.1). Como \(\tau_3 >\) valor crítico (no es lo bastante negativo), no se rechaza \(H_0\): \(\log(\text{PIB})\) tiene raíz unitaria.
| Estadistico | Valor critico (5%) | Decision |
|---|---|---|
| -2.139 | -3.43 | No se rechaza H0 (raíz unitaria) |
Repitamos el contraste sobre \(\Delta\log(\text{PIB})\) —ahora sin tendencia, solo con constante— para completar la determinación del orden de integración.
| Estadistico | Valor critico (5%) | Decision |
|---|---|---|
| -9.067 | -2.88 | Se rechaza H0 (estacionaria) |
El estadístico sobre la serie diferenciada, \(\tau_2 =\) -9.067, es ampliamente más negativo que el valor crítico: se rechaza con contundencia la raíz unitaria. La conclusión conjunta —no estacionaria en niveles, estacionaria tras una diferencia— es la definición misma de integración de orden 1: \(\log(\text{PIB}) \sim I(1)\).
4.5 Contraste de Phillips-Perron (PP)
El contraste de Phillips y Perron (1988) comparte la misma hipótesis nula, la misma regresión de base y los mismos valores críticos que el ADF, pero corrige la autocorrelación y la heterocedasticidad de los residuos de forma no paramétrica: en lugar de añadir retardos de la variable diferenciada (la estrategia “paramétrica” del ADF), ajusta directamente el estadístico con un estimador tipo Newey-West de la varianza de largo plazo —una versión de la varianza que, a diferencia de la varianza ordinaria, tiene en cuenta también las covarianzas entre observaciones separadas por distintos retardos, no solo la dispersión de cada observación por separado—. Es, por tanto, una vía alternativa para llegar a la misma conclusión, útil cuando la estructura de autocorrelación es incierta o cambia con el tiempo (heterocedasticidad condicional, por ejemplo).
| Estadistico | Valor critico (5%) | Decision |
|---|---|---|
| -2.185 | -3.448 | No se rechaza H0 (raíz unitaria) |
El estadístico \(Z_\tau =\) -2.185 frente al valor crítico al 5% de -3.448 lleva a la misma conclusión que el ADF: no se rechaza la raíz unitaria en \(\log(\text{PIB})\). La coincidencia entre ambos contrastes —uno paramétrico, otro no paramétrico— refuerza la conclusión.
4.6 Contraste KPSS
Los contrastes anteriores comparten un defecto: al tomar la raíz unitaria como hipótesis nula, tienden a no rechazarla salvo evidencia muy clara en contra (baja potencia), de modo que “no rechazar” nunca es prueba concluyente de no estacionariedad. El contraste de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt y Shin (1992) invierte los papeles: la hipótesis nula es la estacionariedad (en torno a un nivel o a una tendencia), y la alternativa es la raíz unitaria. Se basa en un estadístico tipo multiplicador de Lagrange —una familia de contrastes que evalúa una hipótesis a partir de lo que cambiaría la verosimilitud si se relajase esa restricción, sin necesidad de estimar el modelo sin restringir— construido a partir de las sumas parciales acumuladas de los residuos de una regresión sobre la tendencia determinista, normalizado por un estimador de la varianza de largo plazo (la misma idea introducida a propósito del contraste de Phillips-Perron). Contrastar ADF/PP y KPSS conjuntamente es la práctica recomendada: si ambos coinciden (no se rechaza raíz unitaria en ADF/PP, se rechaza estacionariedad en KPSS, o viceversa), la evidencia es sólida en una dirección.
| Estadistico | Valor critico (5%) | Decision |
|---|---|---|
| 0.434 | 0.146 | Se rechaza H0 (no estacionaria) |
Con un estadístico de 0.434 frente a un valor crítico de 0.146, el KPSS rechaza la estacionariedad: coincide con el ADF y el PP en que \(\log(\text{PIB})\) no es estacionaria. Las tres pruebas —con hipótesis nulas opuestas y metodologías distintas— convergen en la misma conclusión: \(\log(\text{PIB}) \sim I(1)\).
4.7 Cambios estructurales
Los tres contrastes anteriores comparten un supuesto implícito: que los parámetros del proceso generador de datos son constantes a lo largo de toda la muestra. El PIB español, con una crisis financiera en 2008 y una pandemia en 2020, es un candidato natural a incumplirlo.
4.7.1 Contraste de Perron (1989)
Perron (1989) mostró un resultado incómodo: si el verdadero proceso generador es estacionario en torno a una tendencia con una ruptura estructural (un TS con un cambio de nivel o de pendiente en una fecha \(T_b\)), los contrastes ADF y PP estándar tienden a no rechazar la raíz unitaria incluso cuando esta no existe —la ruptura, no modelizada, se confunde con persistencia—. Su propuesta es ampliar la regresión ADF con variables dummy que capturan la ruptura en \(T_b\), en tres variantes según su naturaleza:
- Modelo A (cambio de nivel): un salto puntual en el nivel de la serie.
- Modelo B (cambio de pendiente): un cambio en la tasa de crecimiento a partir de \(T_b\).
- Modelo C (ambos): salto de nivel y cambio de pendiente simultáneos.
La regresión del modelo C, con \(DU_t = \mathbb 1(t>T_b)\) (dummy de nivel) y \(DT_t = (t-T_b)\cdot\mathbb 1(t>T_b)\) (dummy de pendiente), es
\[\Delta Y_t = \mu + \theta\,DU_t + \beta t + \delta\,DT_t + \gamma\,Y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p}\phi_i\,\Delta Y_{t-i} + \varepsilon_t,\]
contrastando de nuevo \(H_0:\gamma=0\). La particularidad de Perron es que \(T_b\) se fija exógenamente, a partir de conocimiento histórico previo (una crisis, una reforma), y los valores críticos —tabulados en Perron (1989)— dependen de la fracción muestral \(\lambda = T_b/T\) en que ocurre la ruptura. Esta misma exogeneidad fue después criticada: si el investigador elige \(T_b\) tras examinar los datos —por ejemplo, señalando “a ojo” el punto donde la serie parece quebrarse—, el contraste pierde su validez formal, porque los valores críticos tabulados suponen que la fecha se fijó de antemano, sin mirar la muestra. Esta práctica, buscar en los propios datos el patrón que luego se usa para justificar la elección del contraste, se conoce como data snooping (“fisgoneo de datos”) y es una fuente habitual de resultados espurios en econometría aplicada. Esa crítica motivó la alternativa de Zivot y Andrews.
4.7.2 Contraste de Zivot-Andrews
Zivot y Andrews (1992) tratan la fecha de ruptura como desconocida: el procedimiento estima la regresión de Perron (en su variante A, B o C) para cada posible fecha de ruptura dentro de la muestra (excluyendo los extremos) y se queda con la que produce el estadístico \(\tau\) más negativo —la fecha más favorable a rechazar la raíz unitaria—. Al buscar sobre todas las fechas, el contraste necesita valores críticos propios, más exigentes (más negativos) que los de Perron, para compensar el sesgo de selección.
Aplicado a \(\log(\text{PIB})\) (modelo C, model = "both"), el algoritmo señala como ruptura más favorable el 2008-T3 —el estallido de la crisis financiera global—, con un estadístico de -4.324 frente al valor crítico al 5% de -5.08 (Cuadro 4.5).
| Estadistico | Valor critico (5%) | Decision |
|---|---|---|
| -4.324 | -5.08 | No se rechaza H0 (raíz unitaria) |
La conclusión no cambia: ni siquiera en la fecha de ruptura más favorable a rechazar la hipótesis nula se rechaza la raíz unitaria. Es un resultado más informativo que el ADF simple: descarta que la persistencia detectada antes fuera un artefacto de ignorar la crisis de 2008. Nótese, además, que el algoritmo elige 2008 y no 2020 pese a que la caída del PIB en el segundo trimestre de 2020 fue mucho más violenta: las dummies de Perron/Zivot-Andrews modelizan cambios permanentes de nivel o pendiente, y el shock de la COVID-19, con su rápida recuperación en forma de V, se parece más a un valor atípico transitorio que a una ruptura estructural permanente —mientras que 2008 sí inauguró una senda de crecimiento distinta y duradera—.
4.7.3 Implementación con strucchange
El paquete strucchange aborda el problema de forma más general, permitiendo múltiples rupturas mediante el procedimiento de Bai y Perron: para cada número de rupturas \(m=0,1,2,\dots\) estima la partición óptima (por mínimos cuadrados) y selecciona el \(m\) que minimiza el BIC.
Sobre \(\log(\text{PIB})\) frente a una tendencia lineal, el criterio BIC selecciona tres rupturas (Figura 4.2): 2007-T3, 2014-T1, 2020-T1. Las tres tienen lectura histórica inmediata: el estallido de la crisis financiera, un punto de inflexión en la salida de la crisis del euro, y el trimestre previo al colapso de la COVID-19.
A diferencia de Zivot-Andrews —pensado específicamente para contrastar raíces unitarias con una ruptura—, strucchange es una herramienta de propósito general para detectar cambios estructurales en cualquier regresión, útil más allá del contexto de raíces unitarias —por ejemplo, para verificar la estabilidad de los coeficientes de un modelo MCO, como se hace con el contraste de Chow, que compara si los coeficientes estimados por separado antes y después de una fecha dada son significativamente distintos de los estimados con la muestra completa—.
4.8 Atípicos e intervención
Las rupturas de Perron y Zivot-Andrews son un caso particular de un problema más general: el de las observaciones atípicas. Un valor atípico es una observación con muy poca probabilidad de haberse generado por el mismo mecanismo que el resto de la serie —un cambio de base estadística, un error de medición, un suceso extraordinario y no recurrente—. Si no se identifican, los atípicos pueden causar dos problemas distintos según dónde aparezcan: en mitad de la muestra, pueden sesgar la estimación del modelo (una sola observación extrema puede distorsionar de forma notable los coeficientes ajustados por mínimos cuadrados o por máxima verosimilitud, tal como vimos con el trimestre de la COVID-19 y la normalidad de los residuos en el Capítulo 5); al final de la muestra, además, contaminan directamente la predicción, porque esa observación pasa a formar parte de la información con la que se calcula el pronóstico.
Cuando el momento en que ocurre el suceso extraordinario es conocido —una huelga, un cambio normativo, una crisis con fecha de inicio identificable, como la propia ruptura de 2008 del PIB—, se dispone de más información que en el caso de un atípico genérico de causa desconocida, y puede incorporarse esa información directamente al modelo mediante variables de intervención: regresores construidos a propósito para representar el tipo concreto de anomalía. Las tres formas canónicas, siendo \(T_b\) el instante en que ocurre el suceso, son:
- Variable impulso (pulse): vale 1 únicamente en \(T_b\) y 0 en el resto de la muestra. Representa un choque puntual y transitorio, que afecta a un único periodo sin dejar huella permanente en el nivel de la serie —es, de hecho, el mismo concepto que el X-13ARIMA-SEATS del Capítulo 6 detecta automáticamente y etiqueta como AO (additive outlier)—.
- Variable escalón (step): vale 0 antes de \(T_b\) y 1 desde \(T_b\) en adelante. Representa un cambio de nivel permanente: es, literalmente, la dummy \(DU_t\) que ya empleamos unas páginas atrás en la regresión de Perron y de Zivot-Andrews, y el mismo concepto que en el Capítulo 6 X-13 etiquetará como LS (level shift).
- Variable tendencia: vale 0 antes de \(T_b\) y \(1,2,3,\dots\) en los periodos sucesivos. Representa un cambio permanente en la pendiente (en la tasa de crecimiento) a partir de \(T_b\): es la dummy \(DT_t\) de esas mismas regresiones.
Dicho de otro modo: el aparato que empleamos páginas atrás para dotar a un contraste de raíz unitaria de robustez frente a una ruptura no es más que un caso particular —con \(T_b\) elegido para maximizar la evidencia contra la raíz unitaria— de esta idea más general de modelizar explícitamente un suceso conocido mediante regresores de intervención, en lugar de dejar que distorsione, sin más, la estimación del modelo.
NoteGRETL → R
Contraste ADF: En Gretl: Variable → Contrastes de raíz unitaria → Dickey-Fuller aumentado. En R: urca::ur.df(y, type = "trend"|"drift"|"none", selectlags = "AIC").
Contraste KPSS: En Gretl: Variable → Contrastes de raíz unitaria → KPSS. En R: urca::ur.kpss(y, type = "tau"|"mu").
Transformación Box-Cox: En Gretl: Añadir → Transformación de Box-Cox de las variables seleccionadas. En R: forecast::BoxCox(y, lambda); estimar \(\lambda\) con forecast::BoxCox.lambda(y).
Contraste de raíz unitaria con ruptura (Zivot-Andrews): Gretl no incluye Zivot-Andrews de forma nativa. En R: urca::ur.za(y, model = "both", lag = NULL).
4.9 Ejercicios propuestos
- Determine el orden de integración de \(\log(\text{IPC})\) (serie mensual del IPC español) mediante el contraste ADF, aplicado primero en niveles (con tendencia) y después en primera diferencia (con deriva).
- Confirme la conclusión del ejercicio anterior aplicando el contraste KPSS a \(\log(\text{IPC})\) en niveles.
- Repita la simulación TS/DS de la Figura 4.1 con un proceso TS de menor persistencia, \(\phi=0{,}3\). ¿Cuántos periodos deben transcurrir para que el efecto del choque se reduzca por debajo del 5% de su magnitud inicial? Resuélvalo primero analíticamente y compruébelo con la simulación.
- Aplique el contraste de Zivot-Andrews a \(\log(\text{PIB})\) usando el modelo
"trend"(ruptura solo en pendiente, sin cambio de nivel) en lugar de"both". Compare la fecha de ruptura, el estadístico y la conclusión con los obtenidos en el texto.
4.10 Soluciones de los ejercicios
1. Orden de integración de \(\log(\text{IPC})\). En niveles, con tendencia, \(\tau_3 =\) -1.887 frente a un valor crítico al 5% de -3.42: no se rechaza la raíz unitaria. En primera diferencia, con deriva, \(\tau_2 =\) -11.983 frente a -2.87: se rechaza con rotundidad. Igual que el PIB, \(\log(\text{IPC}) \sim I(1)\).
2. Confirmación con KPSS. El estadístico KPSS sobre \(\log(\text{IPC})\) en niveles es 0.526, muy por encima del valor crítico al 5% (0.146): se rechaza la estacionariedad, coincidiendo con el ADF en la conclusión \(I(1)\).
3. Decaimiento del choque con \(\phi=0{,}3\). El efecto de un choque en un AR(1) se atenúa como \(\phi^k\); se busca el menor \(k\) tal que \(\phi^k < 0{,}05\), es decir \(k > \log(0{,}05)/\log(\phi)\). Con \(\phi=0{,}3\), esto da \(k >\) 2.49, de modo que a partir de \(k=\) 3 periodos el efecto ya es inferior al 5% del choque inicial —mucho más rápido que con \(\phi=0{,}6\) en el texto—. La Figura 4.3 confirma la simulación: el choque se disuelve visiblemente en pocos periodos.
4. Zivot-Andrews con ruptura solo en pendiente. Con model = "trend", el algoritmo sitúa la ruptura más favorable en 2004-T1, con un estadístico de -3.598 frente a un valor crítico al 5% de -4.42. La fecha cambia respecto al modelo con nivel y pendiente (2008-T3 en el texto), y el estadístico es menos negativo: al restringir el tipo de ruptura permitida, el contraste encuentra menos evidencia en contra de la raíz unitaria. La conclusión sustantiva, sin embargo, no cambia: en ningún caso se rechaza la raíz unitaria de \(\log(\text{PIB})\).
El código de este capítulo está en
scripts/T04_mST_Script_RaicesUnitarias.R(guion teórico) yscripts/T04_mST_CP_Macro.R(caso práctico con el PIB).