7 Modelos Vectoriales Autorregresivos (VAR)
Todos los modelos de los Capítulos 2 a 6 comparten una limitación: tratan cada serie de forma aislada. Pero PIB y consumo de los hogares no son ajenos entre sí —la teoría económica más elemental predice que se determinan conjuntamente—, y el análisis univariante no puede decir nada sobre cómo un choque en uno se transmite al otro. Este capítulo introduce el modelo VAR, el instrumento estándar para analizar la dinámica conjunta de varias series, y lo aplica a un sistema formado por el PIB y el gasto en consumo final de los hogares en España.
7.1 Motivación: límites del análisis univariante
Un ARIMA univariante como los de los Capítulos 3-6 modeliza \(Y_t\) en función únicamente de su propio pasado. Si dos series están económicamente relacionadas —como predicen tanto la función de consumo keynesiana (el consumo depende de la renta corriente) como la hipótesis de la renta permanente (el consumo depende también de expectativas sobre la renta futura, con las que el PIB corriente está correlacionado)— un modelo univariante ignora por completo esa relación: no puede decir si un choque de PIB afecta al consumo, ni cuánto, ni durante cuánto tiempo.
La correlación contemporánea entre ambas tasas de crecimiento es de 0.965 (Figura 7.1): extraordinariamente alta para variables macroeconómicas. Un sistema que module esta relación conjunta —y no dos modelos univariantes independientes— es indispensable.
7.2 El modelo VAR(p)
7.2.1 Especificación y forma reducida
Un VAR(p) describe un vector de \(K\) variables, \(Y_t = (Y_{1t},\dots,Y_{Kt})'\), como función lineal de sus propios \(p\) retardos:
\[Y_t = c + A_1 Y_{t-1} + A_2 Y_{t-2} + \cdots + A_p Y_{t-p} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim \text{RB}(0, \Sigma),\]
donde cada \(A_i\) es una matriz \(K\times K\) de coeficientes y \(\Sigma\) es la matriz de covarianzas contemporáneas de las innovaciones —que, a diferencia del caso univariante, no tiene por qué ser diagonal: los choques de las distintas ecuaciones pueden estar correlacionados entre sí, y de hecho lo están, como veremos. En nuestro sistema, \(K=2\): \(Y_t = (\Delta\log(\text{PIB})_t,\ \Delta\log(\text{Consumo})_t)'\), las tasas de crecimiento trimestral ya estacionarias que venimos empleando desde el Capítulo 3.
Esta especificación se denomina forma reducida: cada ecuación explica una variable en función de los retardos de todas las variables del sistema (incluida ella misma), sin imponer restricciones contemporáneas entre ellas. En principio, cuando los errores de varias ecuaciones están correlacionados entre sí —como ocurre aquí, según veremos—, estimarlas por separado con MCO deja de ser lo más eficiente posible, y conviene recurrir a mínimos cuadrados generalizados (MCG), una técnica que tiene en cuenta esa correlación entre ecuaciones al estimarlas conjuntamente. Pero cuando, como en un VAR, los regresores son idénticos en todas las ecuaciones (los mismos retardos de \(Y_t\) en cada una), puede demostrarse que el MCG conjunto coincide exactamente con estimar cada ecuación por MCO por separado: no hay ninguna eficiencia que ganar acudiendo a la técnica más sofisticada, lo que simplifica enormemente la estimación práctica de un VAR.
7.2.2 Condición de estabilidad
El VAR(p) es estable —generaliza la estacionariedad del AR(p) univariante del Capítulo 3— si todas las raíces del polinomio característico matricial
\[\det\big(I_K - A_1 z - A_2 z^2 - \cdots - A_p z^p\big) = 0\]
caen fuera del círculo unidad. En la práctica se comprueba de forma equivalente examinando los valores propios de la matriz companion del sistema —una matriz auxiliar, mayor que las \(A_i\) originales, construida para poder escribir el VAR(\(p\)) como si fuera un VAR(1) de una variable “apilada” que contiene \(Y_t\) junto con sus \(p-1\) retardos; es un truco algebraico habitual para trasladar al caso VAR(1), más simple, los resultados del caso VAR(\(p\))—: el VAR es estable si todos sus valores propios tienen módulo inferior a 1. Verificaremos esta condición sobre el modelo estimado en la sección de aplicación.
7.3 Selección del orden del retardo
| Retardo | AIC | HQ | SC (BIC) | FPE |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -16.94 | -16.88 | -16.79 | 0 |
| 2 | -16.92 | -16.82 | -16.67 | 0 |
| 3 | -17.05 | -16.91 | -16.71 | 0 |
| 4 | -17.06 | -16.88 | -16.62 | 0 |
| 5 | -17.03 | -16.81 | -16.48 | 0 |
| 6 | -17.00 | -16.74 | -16.35 | 0 |
| 7 | -17.00 | -16.70 | -16.26 | 0 |
| 8 | -16.93 | -16.59 | -16.10 | 0 |
La tabla incluye, junto al AIC y al SC (el nombre que usa el paquete vars para el BIC del Capítulo 3), otros dos criterios de uso común: el HQ (Hannan-Quinn), una penalización intermedia entre el AIC y el BIC —ni tan permisiva como el primero, ni tan estricta como el segundo—, y el FPE (final prediction error, “error final de predicción”), que en lugar de partir de la verosimilitud estima directamente el error cuadrático medio que cometería el modelo al predecir una observación nueva, penalizando también el número de parámetros. Los cuatro criterios (Cuadro 7.1) no coinciden: AIC y FPE prefieren 4 retardos, HQ prefiere 3, y SC (el más exigente con la parsimonia, análogo al BIC del Capítulo 3) prefiere apenas 1. Con solo 116 observaciones útiles y \(K=2\) variables, un VAR de orden 4 ya estima \(4\times(2\times4+1)=36\) parámetros: el riesgo de sobreparametrización es real. Optamos por el criterio más parsimonioso, \(p=1\), y dejamos la comparación explícita con \(p=4\) para los ejercicios.
7.4 Estimación por mínimos cuadrados ordinarios
| Regresor | Estimación | Error típico | t | p-valor |
|---|---|---|---|---|
| Ecuación PIB | ||||
| PIB(t-1) | 0.2348 | 0.3480 | 0.6748 | 0.5012 |
| Consumo(t-1) | -0.3440 | 0.2714 | -1.2672 | 0.2077 |
| constante | 0.0051 | 0.0024 | 2.1590 | 0.0330 |
| Ecuación Consumo | ||||
| PIB(t-1) | 0.6558 | 0.4396 | 1.4917 | 0.1386 |
| Consumo(t-1) | -0.7367 | 0.3429 | -2.1483 | 0.0338 |
| constante | 0.0038 | 0.0030 | 1.2665 | 0.2079 |
Ninguno de los coeficientes de los retardos es individualmente significativo al 5% en ninguna de las dos ecuaciones —solo lo son las constantes—, y el poder explicativo es bajo: el R² (el coeficiente de determinación, la fracción de la varianza de la variable dependiente que el modelo consigue explicar, con un máximo de 1 para un ajuste perfecto) es de 0.05 en la ecuación del PIB y 0.077 en la del consumo —es decir, apenas un 5% y un 8% de la varianza, respectivamente—: el pasado inmediato de una variable apenas ayuda a predecir la otra. Las raíces del polinomio característico son 0.353 y 0.149, ambas muy por debajo de 1: el sistema es estable.
7.5 Causalidad de Granger
Que \(X\) Granger-causa \(Y\) significa algo más modesto de lo que su nombre sugiere: no causalidad en sentido estructural, sino que los valores pasados de \(X\) mejoran la predicción de \(Y\) más allá de lo que ya aporta el propio pasado de \(Y\). Se contrasta con un test \(F\) conjunto sobre los coeficientes de los retardos de \(X\) en la ecuación de \(Y\).
| Hipótesis | Estadístico F | p-valor |
|---|---|---|
| PIB no Granger-causa Consumo | 2.225 | 0.1372 |
| Consumo no Granger-causa PIB | 1.606 | 0.2064 |
Con un solo retardo, no se rechaza ninguna de las dos hipótesis nulas (Cuadro 7.3): ni el PIB Granger-causa al consumo, ni el consumo Granger-causa al PIB. Lejos de ser un resultado decepcionante, es coherente con una idea central de la macroeconomía del consumo: la hipótesis de la renta permanente (Friedman, 1957; formalizada por Hall, 1978) predice precisamente que, si los hogares suavizan el consumo de forma óptima ante expectativas racionales, los cambios en el consumo no deberían ser predecibles a partir de información pasada —incluido el PIB rezagado—. Que no podamos rechazar la ausencia de causalidad no demuestra la hipótesis, pero es plenamente compatible con ella. En los ejercicios veremos que esta conclusión no es robusta al número de retardos incluidos.
7.6 Funciones de impulso-respuesta (IRF)
7.6.1 Interpretación económica
Todo VAR estable admite una representación de medias móviles de orden infinito —el análogo multivariante del teorema de Wold del Capítulo 3—: \(Y_t = \mu + \sum_{i=0}^{\infty}\Psi_i\,\varepsilon_{t-i}\). La matriz \(\Psi_h\) recoge el efecto de un choque en el instante \(t\) sobre el valor esperado de \(Y_{t+h}\), manteniendo todo lo demás constante: es la función de impulso-respuesta. Trazar \(\Psi_h\) frente a \(h\) permite visualizar cómo se propaga en el tiempo un choque en una variable hacia las demás.
7.6.2 IRF ortogonalizadas: descomposición de Cholesky
El obstáculo es que las innovaciones \(\varepsilon_t\) del sistema, con \(\Sigma\) no diagonal, están correlacionadas contemporáneamente —aquí, con una correlación de 0.966 entre los residuos de ambas ecuaciones, casi tan alta como la de las series originales—. Un “choque de PIB” que en realidad ocurre siempre junto con un choque de consumo no está bien definido: no se puede simular una cosa sin la otra. La solución habitual es la descomposición de Cholesky de \(\Sigma\), que impone un orden causal dentro del propio periodo: la primera variable del orden puede afectar contemporáneamente a las demás, pero no al revés. La elección del orden es una hipótesis de identificación, no un resultado de los datos: aquí ordenamos el PIB antes que el consumo, bajo el supuesto convencional de que la producción agregada es la variable más “primitiva” dentro del trimestre y el gasto de los hogares reacciona a ella, no viceversa.
El efecto de un choque de PIB sobre el consumo es intenso en el impacto (0.0296) pero se disipa casi por completo en dos trimestres: coherente con la baja persistencia que ya revelaban las raíces del VAR(1). El intervalo de confianza, obtenido por bootstrap (no analíticamente, dado que la distribución exacta de la IRF no es estándar), es amplio: con apenas 116 observaciones, la incertidumbre sobre la dinámica exacta es considerable.
7.7 Descomposición de la varianza del error de predicción
Mientras que la IRF traza la forma de la respuesta a un choque, la descomposición de la varianza del error de predicción (FEVD) cuantifica qué fracción de la varianza del error de predicción de cada variable, a cada horizonte, es atribuible a cada tipo de choque —bajo la misma ordenación de Cholesky que las IRF—.
| Horizonte | PIB: choque propio | PIB: choque consumo | Consumo: choque PIB | Consumo: choque propio |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.000 | 0.000 | 0.932 | 0.068 |
| 4 | 0.984 | 0.016 | 0.897 | 0.103 |
| 8 | 0.984 | 0.016 | 0.897 | 0.103 |
Con esta ordenación, la varianza del PIB está dominada por sus propios choques (en torno al 98% incluso a 8 trimestres), mientras que la varianza del consumo está dominada por los choques de PIB (en torno al 90%): resultado mecánico de que el PIB, al ir primero en la ordenación, se lleva “el mérito” de toda la varianza compartida. Como se pedirá comprobar en los ejercicios, invertir el orden de Cholesky invierte también esta conclusión de forma casi completa —la lección central de esta sección: cuando la correlación contemporánea es tan alta como aquí, la FEVD es tan informativa sobre la hipótesis de identificación elegida como sobre los propios datos.
7.8 Aplicación macroeconómica en R
Resumamos el ciclo completo del capítulo y cerremos con una predicción conjunta a un año vista.
A un año vista, el VAR predice un crecimiento acumulado del 1.82% para el PIB frente al 1.35% para el consumo: si se cumpliera, el consumo crecería más despacio que la renta, lo que —a igualdad de todo lo demás— apuntaría a una tasa de ahorro de los hogares ligeramente creciente. Conviene recordar, no obstante, que los intervalos de predicción son amplios (Figura 7.3): con la evidencia disponible, la diferencia entre ambas trayectorias no es, ni mucho menos, estadísticamente concluyente.
NoteGRETL → R
Estimar un VAR: En Gretl: Modelo → Series temporales multivariantes → VAR, seleccionando las variables y el orden de retardo. En R: vars::VAR(y, p = ..., type = "const").
Selección del orden: En R: vars::VARselect(y, lag.max = ...).
Causalidad de Granger: En Gretl: se muestra automáticamente en la salida del VAR (“Contraste F de exclusión de retardos”). En R: vars::causality(modelo, cause = "variable").
Funciones de impulso-respuesta y FEVD: En Gretl: Análisis → Respuesta a impulsos y Análisis → Descomposición de varianza, tras estimar el VAR. En R: vars::irf(modelo, impulse = ..., response = ..., ortho = TRUE, boot = TRUE); vars::fevd(modelo).
7.9 Ejercicios propuestos
- Reestime el sistema con \(p=4\) (el orden preferido por AIC y FPE en la Cuadro 7.1). Compruebe la estabilidad del modelo mediante sus raíces características y compárelas con las del VAR(1) del texto.
- Sobre el VAR(4) del ejercicio 1, repita los contrastes de causalidad de Granger en ambas direcciones. ¿Cambia la conclusión respecto al VAR(1)?
- Invierta el orden de Cholesky —consumo antes que PIB— y recalcule la FEVD del PIB a 8 trimestres. Compare con la Cuadro 7.4 y comente el resultado.
- A partir de las predicciones de la Figura 7.3, calcule el cociente Consumo/PIB en el último dato observado y en la predicción a 4 trimestres. ¿Es coherente con la conclusión sobre la tasa de ahorro del texto?
7.10 Soluciones de los ejercicios
1. Estabilidad del VAR(4). Las 8 raíces del VAR(4) van de 0.513 a 0.761 —todas por debajo de 1, así que el sistema sigue siendo estable—, pero más próximas al círculo unidad que las del VAR(1) (0.353 y 0.149): el modelo con más retardos captura una dinámica más persistente. Una precisión importante: el VAR(1) se estima con 116 observaciones útiles y el VAR(4) con 113 (se pierden 3 más al construir los retardos adicionales), por lo que sus criterios de información no son directamente comparables entre sí sin más —para eso sirve precisamente la Cuadro 7.1 del texto, que sí fija una muestra común—.
2. Causalidad de Granger con \(p=4\). El resultado cambia por completo: ahora sí se rechaza la ausencia de causalidad en ambas direcciones (PIB → Consumo: \(F=\) 5.842, p < 0,001; Consumo → PIB: \(F=\) 4.274, p = 0.0024). La conclusión del texto —compatible con la hipótesis de la renta permanente— no es robusta al orden del retardo: con un año completo de historia (4 retardos trimestrales) sí aparece predictibilidad cruzada que un solo retardo no alcanza a capturar. Es un recordatorio de que la causalidad de Granger es una propiedad del modelo estimado, no un hecho estructural inmutable.
3. FEVD con el orden invertido.
| Horizonte | PIB: choque consumo | PIB: choque propio |
|---|---|---|
| 1 | 0.932 | 0.068 |
| 4 | 0.930 | 0.070 |
| 8 | 0.930 | 0.070 |
El resultado se invierte casi por completo: con el consumo ordenado primero, hasta el 93% de la varianza del PIB a 8 trimestres pasa a atribuirse a “choques de consumo” —frente al 2% que le atribuía la Cuadro 7.4 del texto con el orden contrario—. Es la confirmación numérica de la advertencia del texto: con una correlación contemporánea de 0.96, la FEVD depende más de la hipótesis de identificación (qué variable “va primero”) que de ninguna característica objetiva de los datos.
4. Cociente Consumo/PIB. En el último dato observado, el cociente es 0.9093; en la predicción a 4 trimestres, 0.9051. El cociente desciende ligeramente, coherente con que el consumo crece más despacio que el PIB en la predicción del texto —compatible con una tasa de ahorro de los hogares en ligero ascenso—, aunque, como allí se advertía, dentro de un intervalo de predicción demasiado amplio para extraer conclusiones firmes.
El código de este capítulo está en
scripts/T07_mST_Script_VAR.R(guion teórico) yscripts/T07_mST_CP_Macro.R(caso práctico con el sistema PIB-Consumo).