El GARCH(1,1) del Capítulo 9 suele dar, sobre series financieras reales, una persistencia $\hat\alpha+\hat\beta$ muy próxima a la frontera $\alpha+\beta=1$ que define un IGARCH (Integrated GARCH). Esa cercanía a la frontera es ambigua: ¿es la volatilidad un proceso de memoria corta pero extremadamente persistente, o es en realidad un proceso de memoria larga , mal aproximado por un GARCH ordinario, que solo permite elegir entre d=0 (GARCH) y d=1 (IGARCH) sin nada intermedio?
Baillie, Bollerslev y Mikkelsen (1996) resuelven la ambigüedad generalizando el GARCH exactamente como el ARFIMA generaliza al ARMA: sustituyendo la diferenciación entera de la ecuación de varianza por una diferenciación fraccionaria. El modelo FIGARCH(1,d,1) puede escribirse, en su representación ARCH(∞), como:
con $0\le d\le 1$: el caso $d=0$ recupera el GARCH(1,1) ordinario (memoria corta), y $d=1$ recupera el IGARCH (persistencia total, sin reversión a la media); los valores intermedios, $0<d<1$, son la memoria larga en la varianza condicional.
Expandiendo esta ecuación, todo modelo GARCH admite una representación equivalente ARCH(∞), en la que la varianza condicional se escribe como una suma ponderada de todos los choques cuadráticos pasados:
En un GARCH(1,1) estándar, estos pesos decaen geométricamente : $\lambda_k=\alpha\beta^{k-1}$, exactamente la misma tasa de decaimiento exponencial de un AR(1) que vimos en la app anterior. Baillie, Bollerslev y Mikkelsen demuestran que, en un FIGARCH(1,d,1), esos mismos pesos decaen hiperbólicamente a tasas asintóticas $\lambda_k\sim k^{d-1}$ —la misma familia de decaimiento lento, $k^{2d-1}$ en la FAC, que ya vimos para la media en la Sección 16.3 del manual—.
Advertencia metodológica — esta app es una aproximación pedagógica:
ajustar de forma robusta un FIGARCH(1,d,1) genuino, con parámetros arbitrarios elegidos por el usuario mediante un slider, es numéricamente delicado (el solver de
rugarch
puede violar restricciones de positividad fuera de una región estrecha de parámetros). Para ilustrar con claridad el concepto —memoria larga en la volatilidad— sin depender de esa fragilidad numérica, esta app construye directamente la representación ARCH(∞) de arriba: simula la trayectoria de $\sigma_t^2$ tras un choque grande usando pesos $\lambda_k=\alpha\,k^{d-1}$ (aproximación FIGARCH, con la tasa asintótica real del modelo) frente a $\lambda_k=\alpha\beta^{k-1}$ (GARCH(1,1) exacto), ambos con el mismo $\alpha$ inicial para que la reacción inmediata al choque sea idéntica y la única diferencia visible sea la
velocidad de decaimiento
posterior. El Capítulo 16 del manual, por su parte, sí ajusta un FIGARCH(1,d,1) genuino por máxima verosimilitud sobre el IBEX 35 con
rugarch
, obteniendo $\hat d\approx 0{,}3$–$0{,}4$, muy próximo al de los otros cuatro métodos de ese capítulo.