Todos los modelos de volatilidad univariantes —ARCH, GARCH, EGARCH, GJR-GARCH— describen la varianza condicional de \(\textbf{una sola}\) serie. Pero ninguna cartera real está compuesta por un único activo: un gestor necesita saber no solo cómo varía la volatilidad de cada posición, sino cómo varía la \(\textbf{relación}\) entre ellas, porque es precisamente esa relación —la correlación— la que determina cuánto se diversifica realmente el riesgo.
Considérese una cartera con dos activos y pesos \(w_1,w_2\). Su varianza es:
donde \(\rho_{12}\) es la correlación entre las rentabilidades de ambos activos. Ajustar un GARCH univariante a cada activo por separado proporciona \(\sigma_1^2\) y \(\sigma_2^2\), pero \(\textbf{nada dice sobre } \rho_{12}\) ni sobre si esa correlación es constante en el tiempo.
Y hay buenas razones para sospechar que \(\rho_{12}\) no es constante: la intuición y la evidencia empírica coinciden en que las correlaciones entre activos financieros tienden a \(\textbf{aumentar}\) precisamente en los periodos de crisis —cuando la diversificación más se necesita, es cuando menos protección ofrece—.
La solución obvia —modelizar la matriz de covarianzas completa \(\Sigma_t\) como un proceso multivariante sin restricciones— choca de inmediato con un problema de dimensionalidad: para \(k\) activos, \(\Sigma_t\) tiene \(k(k+1)/2\) elementos distintos, y un modelo sin restricciones que explique la dinámica de cada uno de ellos necesita del orden de \(k^4\) parámetros. Con solo \(k=5\) activos, eso son más de 600 parámetros: inestimable con cualquier muestra realista. Los modelos BEKK y DCC —objeto de las siguientes apps de esta serie— son, cada uno a su manera, estrategias para imponer estructura sobre \(\Sigma_t\) que reduzcan ese número de parámetros a algo manejable.