El VaR tiene dos limitaciones importantes. La primera es que \(\textbf{no dice nada sobre la magnitud de la pérdida cuando se supera el VaR}\): un \(\text{VaR}_{5\%}\) del 2% es compatible tanto con pérdidas del 2.1% como con pérdidas catastróficas del 20% en ese 5% de peores días. La segunda es que el VaR \(\textbf{no es, en general, una medida de riesgo subaditiva}\): puede darse el caso de que \(\text{VaR}(A+B) > \text{VaR}(A)+\text{VaR}(B)\), penalizando artificialmente la diversificación (Artzner, Delbaen, Eber y Heath, 1999).
El \(\textbf{Expected Shortfall}\) (ES), también llamado \(\textit{Conditional VaR}\) (CVaR), corrige la primera limitación: en lugar de limitarse a un umbral de pérdida, promedia la pérdida \(\textbf{dentro}\) del \(\alpha\%\) de peores escenarios:
es decir, «si estamos en uno de esos días malos, ¿cuánto se pierde, en promedio?». Por construcción, \(\text{ES}_\alpha \geq \text{VaR}_\alpha\) siempre: promediar dentro de la cola nunca puede dar un número menor que el umbral que define esa cola.
Si \(r_t\sim N(\mu,\sigma^2)\), el ES tiene una fórmula analítica cerrada:
donde \(\phi\) es la función de densidad de la normal estándar y \(z_\alpha\) su cuantil \(\alpha\). En esta app estimamos el ES de forma no paramétrica, como la media empírica de las observaciones simuladas que caen por debajo de \(-\text{VaR}_\alpha\), el análogo del ES histórico del Capítulo 14.
A diferencia del VaR, el ES \(\textbf{sí es subaditivo}\) —Artzner et al. (1999) lo demuestran junto con el resto de propiedades que definen una \(\textbf{medida de riesgo coherente}\)—, así que no penaliza artificialmente la diversificación. Esta propiedad, junto con su sensibilidad a la magnitud de las pérdidas de cola, motivó que la Revisión Fundamental de la Cartera de Negociación (FRTB) sustituyera el VaR al 99% por el \(\textbf{Expected Shortfall al 97.5\%}\) como métrica de capital regulatorio.