El concepto de Value at Risk y sus métodos de cálculo

El \(\text{VaR}\) al nivel de confianza \(1-\alpha\) (habitualmente \(\alpha=5\%\) o \(\alpha=1\%\)) es la pérdida que, en un horizonte dado, no se espera superar con probabilidad \(1-\alpha\). Formalmente, si \(r_t\) es la rentabilidad, el \(\text{VaR}_\alpha\) cumple:

es decir, \(-\text{VaR}_\alpha\) es, sencillamente, el \(\textbf{cuantil}\; \alpha\) de la distribución de la rentabilidad.

Cuatro métodos de cálculo

VaR histórico: estima el VaR directamente como el cuantil empírico \(\alpha\) de la muestra de rentabilidades observadas, sin imponer ninguna forma paramétrica.

VaR paramétrico normal: asume \(r_t\sim N(\mu,\sigma^2)\), de modo que:

con \(z_\alpha\) el cuantil \(\alpha\) de la normal estándar.

VaR paramétrico t de Student: sustituye la normal por una t de Student estandarizada, más adecuada cuando —como muestra el Capítulo 13— la distribución de la rentabilidad es leptocúrtica:

con \(q_\alpha^{t_\nu}\) el cuantil \(\alpha\) de la t de Student con \(\nu\) grados de libertad, y el factor \(\sqrt{(\nu-2)/\nu}\) reescalando la t para que tenga varianza unitaria antes de multiplicarla por \(\sigma\).

VaR por simulación de Monte Carlo: simula numéricamente un gran número de escenarios de la distribución supuesta (aquí, la misma t de Student estimada) y calcula el cuantil empírico \(\alpha\) de esas simulaciones. Cuando existe una fórmula cerrada equivalente, como en este caso, la simulación debe converger a ella: es una comprobación útil de que el procedimiento está bien implementado antes de aplicarlo a situaciones sin solución analítica (por ejemplo, una cartera con varios activos).

Supuestos y advertencias

• El Capítulo 14 muestra, con datos reales del IBEX 35, que al 95% el VaR normal puede ser incluso mayor que el histórico, pero al 99% la situación se invierte: las colas gruesas hacen que el VaR normal infravalore sistemáticamente el riesgo en los niveles de confianza más exigentes.
• Estos cuatro métodos son, en esta app, estáticos: usan toda la muestra simulada por igual, sin condicionar en la volatilidad reciente (a diferencia del VaR GARCH del capítulo, que sí lo hace).
• El VaR, cualquiera que sea el método, no dice nada sobre la magnitud de la pérdida una vez superado el umbral: esa limitación motiva el Expected Shortfall de la app siguiente.