Gaussianidad agregada

El Capítulo 13 documenta un hecho estilizado menos conocido que la propia leptocurtosis, pero igual de robusto empíricamente: la falta de normalidad de las rentabilidades diarias se $\textbf{atenúa}$ —sin llegar a desaparecer del todo— a medida que se agregan las rentabilidades en horizontes más largos.

Como las rentabilidades logarítmicas son $\textbf{aditivas}$ en el tiempo, la rentabilidad de un periodo de $h$ días es, sencillamente, la suma de las $h$ rentabilidades diarias que lo componen:

$$r_t^{(h)} = r_t + r_{t-1} + \cdots + r_{t-h+1} = \sum_{i=0}^{h-1} r_{t-i}$$

La intuición es la misma que subyace al $\textbf{teorema central del límite}$: una rentabilidad mensual es, aproximadamente, la suma de veinte rentabilidades diarias, y la suma de variables aleatorias tiende a parecerse más a una normal que cada sumando por separado —siempre que no exista una dependencia demasiado fuerte entre esos sumandos que lo impida, como el agrupamiento de volatilidad de la sección siguiente—.

Qué predice la teoría sobre la curtosis

Si las rentabilidades diarias fueran independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) con curtosis finita $\text{Curt}$, la curtosis del agregado de $h$ términos decrece aproximadamente como:

$$\text{Curt}^{(h)} \approx 3 + \frac{\text{Curt}-3}{h}$$

es decir, el $\textbf{exceso de curtosis}$ se divide, aproximadamente, entre el horizonte de agregación $h$: al agregar a una semana ($h=5$) el exceso cae a una quinta parte, y a un mes ($h\approx 21$) a menos de un vigésimo. Esta aproximación asume independencia entre las rentabilidades diarias; en la práctica, la dependencia no lineal de la volatilidad (Sección 13.3) hace que la convergencia real sea algo más lenta que la que predice esta fórmula.

Implicaciones prácticas

Este patrón —la $\textbf{gaussianidad agregada}$— es uno de los argumentos empíricos que justifican que muchos modelos de valoración de opciones y de gestión de carteras a horizontes largos sigan apoyándose en la aproximación normal, pese a que esa misma aproximación sea claramente inadecuada a la frecuencia diaria.

La agregación no crea normalidad de la nada: solo la aproxima, y de forma más lenta cuanto más pesadas son las colas diarias (menor ν).
La independencia entre rentabilidades diarias es una simplificación: el agrupamiento de volatilidad ralentiza la convergencia hacia la normal frente a lo que predice el teorema central del límite clásico.
En la práctica, con datos reales del IBEX 35, la curtosis mensual sigue superando 3 incluso tras la agregación, aunque de forma mucho más moderada que la diaria.