La hipótesis más elemental sobre la distribución de una rentabilidad financiera —que sigue una normal, como asumía el modelo de paseo aleatorio browniano de Bachelier— se rechaza, sistemáticamente, en cualquier serie financiera real. La discrepancia se mide con dos momentos estandarizados de orden superior.
La \(\textbf{asimetría}\) (\(\textit{skewness}\)) mide si la distribución es simétrica o tiene una cola más larga a un lado:
La \(\textbf{curtosis}\) (\(\textit{kurtosis}\)) mide el peso de las colas y del centro de la distribución frente a sus hombros:
Una normal tiene, exactamente, \(\text{Curt}=3\); por eso se suele hablar de \(\textbf{exceso de curtosis}\), \(\text{Curt}-3\), con valores positivos indicando una distribución \(\textbf{leptocúrtica}\): más apuntada en el centro y con colas más pesadas que la normal —hay más días de rentabilidad casi nula y, a la vez, más días de rentabilidad extrema de los que una normal predeciría—.
Si la normal no describe bien las colas de las rentabilidades financieras, una alternativa estándar en la práctica —y disponible en \(\texttt{rugarch}\)— es la \(\textbf{t de Student estandarizada}\), cuyos grados de libertad \(\nu\) controlan directamente el peso de la cola: cuanto menor \(\nu\), más pesada la cola, y \(\nu\to\infty\) recupera la normal. Para que la t de Student tenga varianza finita necesitamos \(\nu>2\), y su curtosis teórica solo está definida para \(\nu>4\):
Nótese que cuando \(\nu\) se aproxima a 4 desde arriba, el exceso de curtosis teórico de la t diverge a infinito: es un indicio más de lo extremas que pueden llegar a ser las colas de las series financieras reales, cuyo ajuste por máxima verosimilitud arroja, típicamente, valores de \(\hat\nu\) bastante bajos (en el entorno de 4 a 8 para índices bursátiles diarios).
El contraste de \(\textbf{Jarque-Bera}\) combina la asimetría y la curtosis muestrales en un único estadístico, bajo la hipótesis nula de normalidad:
donde \(n\) es el tamaño muestral. Cuanto mayor la asimetría o el exceso de curtosis, mayor el estadístico JB y más fuerte el rechazo de la normalidad.