Uno de los hechos estilizados más característicos de las series financieras es su asimetría central: el rendimiento en sí, \(r_t\), apenas muestra autocorrelación lineal —consistente con la forma débil de la hipótesis de eficiencia de mercado—, pero su cuadrado, \(r_t^2\), una medida elemental de la magnitud del movimiento diario con independencia del signo, muestra una dependencia fuerte y persistente: la \(\textbf{agrupación de volatilidad}\) (\(\textit{volatility clustering}\)).
Este patrón —periodos de alta volatilidad seguidos de más alta volatilidad, y periodos tranquilos seguidos de más calma— es precisamente lo que motiva los modelos ARCH y GARCH del Capítulo 9. El GARCH(1,1) especifica la varianza condicional como:
donde \(\alpha\) mide cuánto responde la varianza al último choque al cuadrado (\(\varepsilon_{t-1}^2\)) y \(\beta\) mide la persistencia de la propia varianza pasada. La suma \(\alpha+\beta\) determina la velocidad con la que la volatilidad revierte hacia su nivel incondicional \(\omega/(1-\alpha-\beta)\): cuanto más cerca de 1, más persistente y más agrupada aparece la volatilidad.
Bajo un GARCH(1,1) con \(z_t\) i.i.d. y simétrico, \(r_t\) no tiene autocorrelación lineal —el signo del choque de hoy no predice el signo de mañana—, pero \(r_t^2\) sí, porque la varianza condicional de hoy sí depende de la varianza y del choque al cuadrado de ayer. La función de autocorrelación teórica de \(r_t^2\) para un GARCH(1,1) decae \(\textbf{geométricamente}\) con el retardo \(k\), a una tasa aproximadamente igual a \(\alpha+\beta\):
Este es exactamente el patrón que hace que la agrupación de volatilidad sea visible en la práctica: cuanto mayor \(\alpha+\beta\), más lenta la caída de la FAC de \(r_t^2\) y más duraderos los episodios de alta o baja volatilidad.