Si \(K\) series \(I(1)\) tienen rango de cointegración \(r\), el teorema de representación de Granger garantiza que ese sistema puede reescribirse en una forma equivalente, la representación \(\textbf{VECM}\), que separa explícitamente la relación de largo plazo de la dinámica de corto plazo:
donde \(\beta\) contiene los vectores de cointegración y \(\alpha\) los \(\textbf{coeficientes de ajuste}\): cuánto y en qué dirección corrige cada variable su trayectoria de corto plazo ante una desviación del equilibrio de largo plazo, \(\beta' Y_{t-1}\).
Esta app simula el caso bivariante más simple: dos series \(Y_t\) y \(X_t\), con una única relación de cointegración normalizada como \(Y_t = X_t\) (\(\beta=1\)), y desequilibrio \(z_t = Y_t - X_t\). La dinámica de corto plazo es
En un mecanismo de corrección de errores estable, cuando una variable se sitúa por encima de su relación de equilibrio (\(z_{t-1}>0\)), su tasa de crecimiento debería reducirse para converger de nuevo: coeficiente de ajuste \(\alpha_Y<0\). Sustituyendo ambas ecuaciones en la definición de \(z_t = Y_t - X_t\) se obtiene
una ecuación AR(1) sobre el propio desequilibrio. El sistema converge de nuevo al equilibrio tras una perturbación si y solo si \(|1+\alpha_Y-\alpha_X|<1\), es decir, \(-2 < \alpha_Y-\alpha_X < 0\). Cuanto más negativo es \(\alpha_Y-\alpha_X\) (dentro de ese rango), más rápida es la reversión; si \(\alpha_Y-\alpha_X \geq 0\), el desequilibrio se amplifica en lugar de corregirse —exactamente el problema detectado en el capítulo con el VECM de PIB y consumo—.