Dos operadores de diferenciación, dos problemas distintos
Una serie económica mensual o trimestral puede necesitar hasta dos tipos de diferenciación, que resuelven problemas distintos
y no son intercambiables:
Diferenciación regular: (1-L)
$$\Delta Y_t = (1-L)Y_t = Y_t - Y_{t-1}.$$
Elimina la tendencia —determinista o estocástica— de la serie: la media deja de crecer o decrecer sistemáticamente con el tiempo.
Diferenciación estacional: (1-Lˢ)
$$\Delta_s Y_t = (1-L^s)Y_t = Y_t - Y_{t-s}.$$
Elimina el patrón estacional: compara cada periodo con el mismo periodo del año anterior, cancelando el componente que se
repite cada \(s\) observaciones (rebajas de enero, consumo energético en invierno, turismo en verano...).
Por qué no son sustitutas
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Solo diferenciar en regular
sobre una serie con estacionalidad estabiliza la media (elimina la tendencia), pero deja el patrón estacional prácticamente intacto: la FAC seguirá mostrando picos claros en los múltiplos de s.
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Solo diferenciar en estacional
tiene un efecto más sutil de lo que parece a primera vista: como \((1-L^s) = (1-L)(1+L+L^2+\cdots+L^{s-1})\), el operador estacional
contiene
al operador regular como factor, de modo que \(Y_t - Y_{t-s}\) a menudo también estabiliza la media (elimina la tendencia) como efecto colateral. Pero esto tiene un coste: si la tendencia ya podía eliminarse con una simple diferencia regular, diferenciar directamente en estacional la sobrediferencia, dejando una huella característica —autocorrelación
negativa
en el propio retardo s— que es la firma de haber diferenciado más de lo necesario.
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Aplicar ambas
(1-L)(1-Lˢ) es, con mucho, la combinación más habitual en series económicas mensuales o trimestrales con tendencia y estacionalidad simultáneas — es, de hecho, la que emplea el célebre modelo "airline" de Box y Jenkins— y evita el problema anterior: cada operador resuelve exactamente el problema para el que está pensado, sin sobrediferenciar ninguno de los dos.
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No diferenciar en absoluto
deja la serie con ambos problemas: ni la media ni el patrón estacional son estables, y ningún modelo ARMA (sin componente de integración) puede ajustarse de forma consistente.
Esta aplicación simula una serie con tendencia y estacionalidad simultáneas, y permite aplicar cada combinación de diferenciación
para observar su efecto sobre la estabilidad de la varianza y sobre la FAC resultante.