Una serie con tendencia puede generarse de dos maneras radicalmente distintas, con consecuencias muy diferentes para su tratamiento estadístico.
La diferencia crucial está en cómo responde cada proceso a una perturbación. En el proceso TS , un choque en \(u_t\) se disipa con el tiempo (la serie revierte a su tendencia determinista \(\alpha+\beta t\)); en el proceso DS , el choque se incorpora permanentemente al nivel de la serie, porque queda atrapado dentro de la suma acumulada.
La distinción tiene una consecuencia práctica directa: un proceso TS se estacionariza eliminando la tendencia (regresión sobre \(t\) y trabajando con los residuos), mientras que un proceso DS se estacionariza diferenciando . Aplicar el tratamiento equivocado tiene coste: diferenciar una serie TS introduce una raíz unitaria de medias móviles no invertible (sobrediferenciación); detrender una serie DS no elimina la no estacionariedad, porque la tendencia estocástica sigue presente en el residuo.
La simulación de esta aplicación no solo compara los dos casos extremos, sino que construye un proceso mixto en el que un parámetro \(w \in [0,1]\) interpola de forma continua entre ambos: el coeficiente autorregresivo del componente irregular pasa de \(\phi\) (proceso TS estacionario, si \(w=0\)) a 1 (raíz unitaria, proceso DS, si \(w=1\)). Esta es, en esencia, la misma idea que subyace a los contrastes de raíz unitaria del Capítulo 4: cuanto más cerca de 1 esté el coeficiente autorregresivo, más se parece el proceso a un paseo aleatorio, y más persistentes son sus choques.