El proceso de medias móviles MA(q)

Un proceso de medias móviles expresa la variable de interés como una combinación lineal, finita, de innovaciones de ruido blanco presentes y pasadas. El proceso MA(2) se define como:

A diferencia de los procesos autorregresivos, un MA es siempre estacionario , cualquiera que sea el valor de sus parámetros: es una suma finita de variables de varianza finita, y una suma finita de términos de varianza acotada no puede "explotar" ni acumular una tendencia.

Momentos e invertibilidad

La varianza del proceso es \(\gamma_0=\sigma^2(1+\theta_1^2+\theta_2^2)\). La invertibilidad —que exige que las raíces de \(\theta(z)=1+\theta_1 z+\theta_2 z^2=0\) caigan fuera del círculo unidad— no afecta a la estacionariedad, pero sí es necesaria para que el proceso admita una representación AR(\(\infty\)) única y con sentido: sin ella, existe un problema de identificación, pues distintas combinaciones de parámetros generan exactamente la misma FAC.

La firma del proceso MA: FAC y FACP

Para un MA(q), la autocovarianza de orden \(k\) es

y \(\gamma_k=0\) para \(k>q\). Esto da lugar a la firma característica del proceso MA:

• FAC: se anula por completo ("se corta") a partir del retardo \(q\): para un MA(2), \(\rho_k=0\) para todo \(k>2\).
• FACP: decae de forma continua, sin cortarse en ningún retardo finito (de forma análoga a como la FAC de un AR decae de forma continua).

Es la imagen especular exacta del proceso AR: donde el MA se corta en la FAC, el AR se corta en la FACP.