El proceso autorregresivo AR(p)

Un proceso autorregresivo expresa el valor presente de la serie como una combinación lineal de sus propios valores pasados más una innovación de ruido blanco. El proceso AR(2) se define como:

o, con el operador de retardos, \(\phi(L)Y_t = c+\varepsilon_t\) con \(\phi(L)=1-\phi_1 L-\phi_2 L^2\).

Condición de estacionariedad

El proceso es estacionario si y solo si las raíces del polinomio característico \(\phi(z)=1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0\) caen fuera del círculo unidad. Para el AR(2), esto equivale a las tres condiciones conjuntas:

Estas tres desigualdades definen, en el plano \((\phi_1,\phi_2)\), un triángulo conocido como la región de estacionariedad del AR(2).

La firma del proceso AR: FAC y FACP

• FAC: decae de forma continua a medida que aumenta el retardo — geométrica si las raíces del polinomio característico son reales, oscilante amortiguada (sinusoidal) si son complejas.
• FACP: se anula por completo ("se corta") a partir del retardo \(p\): para un AR(2), \(\phi_{kk}=0\) para todo \(k>2\).

Esta dualidad —FAC que decae, FACP que se corta en el retardo \(p\)— es precisamente la firma que permite identificar un proceso AR(p) a partir de su correlograma muestral, sin conocer de antemano el mecanismo generador.