Muchas series económicas muestran a la vez inercia en el nivel (como un AR) y el eco de sorpresas recientes (como un MA). El proceso mixto autorregresivo de medias móviles se escribe:
Para el caso ARMA(1,1):
El atractivo del ARMA es la parsimonia : procesos que requerirían un AR o un MA de orden muy elevado para representarse bien pueden a menudo describirse con un ARMA de pocos parámetros, porque las partes AR y MA capturan conjuntamente la dependencia con menos coeficientes.
La tabla siguiente resume el comportamiento teórico de la FAC y la FACP según el tipo de proceso, la base del método de identificación de Box-Jenkins:
| Proceso | FAC | FACP |
|---|---|---|
| AR(p) | Decae (geométrica o sinusoidal) | Se corta en p |
| MA(q) | Se corta en q | Decae (geométrica o sinusoidal) |
| ARMA(p,q) | Decae | Decae |
Aquí está el problema: en un proceso ARMA(p,q), ni la FAC ni la FACP se cortan en ningún retardo finito; ambas decaen de forma continua (mezclando el patrón geométrico/oscilante del AR con el eco finito del MA). Esto significa que, a diferencia de los procesos AR o MA puros, el correlograma por sí solo no basta para leer directamente los órdenes \(p\) y \(q\): la identificación de un ARMA mixto es ambigua a partir de la sola inspección visual, y requiere comparar varias especificaciones candidatas mediante estimación y criterios de información (AIC, BIC), como se hace en la siguiente app de este capítulo.
Esta app compara, lado a lado, la FAC y la FACP de un AR(1) puro, un MA(1) puro y un ARMA(1,1) que comparte el mismo coeficiente φ₁ (o θ₁, según el caso) que los procesos puros, para visualizar cómo la mezcla difumina el patrón de corte característico.