Ruido blanco y el contraste de Ljung-Box

El proceso estocástico estacionario más sencillo es el ruido blanco \(\varepsilon_t\), caracterizado por:

Es decir, media nula, varianza constante y ausencia total de autocorrelación. El ruido blanco es el "ladrillo" con el que se construyen todos los modelos AR, MA y ARMA del Capítulo 3.

El contraste de Ljung-Box

Mirar el correlograma es útil para hacerse una idea, pero es un juicio visual sobre muchos coeficientes a la vez, no un contraste estadístico formal. El contraste de Ljung-Box (una mejora del de Box-Pierce) resuelve esto combinando las autocorrelaciones de varios retardos en un único estadístico:

donde \(T\) es el tamaño muestral y \(m\) el número de retardos incluidos en el contraste. Bajo la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación (\(H_0: \rho_1=\cdots=\rho_m=0\)), el estadístico \(Q\) sigue —aproximadamente y en muestras grandes— una distribución \(\chi^2_m\) ("chi-cuadrado" con \(m\) grados de libertad).

Cuanto mayor sea \(Q\) (es decir, cuanto mayores sean, en conjunto, las autocorrelaciones muestrales), menos compatibles son los datos con la hipótesis de ausencia de autocorrelación. La regla de decisión, con nivel de significación \(\alpha\), es:

• Si el p-valor asociado a \(Q\) es menor que \(\alpha\) (habitualmente 0,05), se rechaza \(H_0\) : hay evidencia de autocorrelación.
• Si el p-valor es mayor que \(\alpha\), no se rechaza \(H_0\) : los datos son compatibles con un ruido blanco.

Esta app simula un proceso en el que se puede introducir, de forma controlada, una correlación entre errores sucesivos —es decir, un proceso AR(1) con coeficiente \(\rho\)— para observar cómo se deteriora el correlograma y cómo reacciona el contraste de Ljung-Box a medida que la correlación se aleja de cero.