El operador de retardos y el operador diferencia
El
operador de retardos
\(L\) (también denotado \(B\)) se define por \(L\,y_t = y_{t-1}\) y, en general, \(L^k y_t = y_{t-k}\). Con él se construye el
operador diferencia
:
$$\Delta y_t = y_t - y_{t-1} = (1-L)\,y_t,$$
y, aplicándolo dos veces, la
segunda diferencia
:
$$\Delta^2 y_t = \Delta(\Delta y_t) = (1-L)^2 y_t = y_t - 2y_{t-1} + y_{t-2}.$$
Estas transformaciones son la herramienta esencial para inducir estacionariedad en media en series que presentan tendencia.
Tendencia determinista vs. tendencia estocástica
Conviene distinguir dos formas de generar una tendencia:
-
Tendencia determinista:
\(y_t = \alpha + \beta t + u_t\), con \(u_t\) estacionario. El nivel de la serie es una función explícita y predecible del tiempo; se elimina restando esa función, es decir, regresando \(y_t\) sobre \(t\) y quedándose con los residuos.
-
Tendencia estocástica:
un paseo aleatorio, \(y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t\) (equivalente a un AR(1) con \(\phi=1\), una raíz unitaria). El nivel de la serie acumula todos los choques pasados y no existe una función determinista a la que restar; se elimina, en cambio, diferenciando la serie: \(\Delta y_t = \varepsilon_t\) es estacionario.
Aplicar el tratamiento equivocado a cada tipo de tendencia tiene consecuencias distintas mostraremos aquí de forma práctica: diferenciar una serie con tendencia puramente determinista, o dejar de diferenciar una serie con tendencia estocástica, produce síntomas característicos y reconocibles en la FAC de la serie resultante.
Sobre-diferenciación y sub-diferenciación
-
Sub-diferenciación:
diferenciar menos veces de las necesarias. La serie resultante conserva no estacionariedad: su FAC decae muy lentamente (o no decae en absoluto si queda una tendencia determinista sin eliminar).
-
Sobre-diferenciación:
diferenciar más veces de las necesarias. Cada diferenciación adicional sobre una serie ya estacionaria introduce artificialmente una estructura de \(MA(1)\) con coeficiente negativo y, además,
aumenta la varianza
de la serie en lugar de reducirla. Concretamente, si \(u_t\) es ruido blanco de varianza \(\sigma^2\), entonces \(\Delta u_t = u_t - u_{t-1}\) tiene varianza \(2\sigma^2\) (el doble) y una autocorrelación teórica de primer orden \(\rho_1 = -0{,}5\), la firma característica de la sobre-diferenciación.
Esta app permite generar una serie con tendencia (determinista o estocástica, a elección) y aplicarle un número variable de diferenciaciones, para observar directamente estos efectos sobre la varianza y la FAC.