Estacionariedad en sentido débil
Un proceso estocástico \(\{Y_t\}\) es
estacionario en sentido débil
(o en covarianza) si sus dos primeros momentos no dependen del tiempo:
$$E[Y_t] = \mu \quad (\text{constante}), \qquad \operatorname{Var}(Y_t) = \sigma^2 \quad (\text{constante}),$$
$$\operatorname{Cov}(Y_t, Y_{t+k}) = \gamma_k \quad (\text{depende solo del retardo } k, \text{ no de } t).$$
Es decir: media constante (ausencia de tendencia), varianza constante (homocedasticidad) y autocovarianzas que dependen únicamente de la distancia temporal \(k\) entre observaciones, no del momento en que se miden.
El proceso AR(1) como caso de estudio
El proceso autorregresivo de orden 1 se define como
$$Y_t = c + \phi\,Y_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \sim \text{RB}(0,\sigma^2).$$
Bajo estacionariedad (\(|\phi|<1\)), sus momentos son
$$\mu = \frac{c}{1-\phi}, \qquad \gamma_0 = \operatorname{Var}(Y_t) = \frac{\sigma^2}{1-\phi^2},$$
ambos finitos y constantes en el tiempo. La condición \(|\phi|<1\) es exactamente la condición de que la raíz del polinomio característico \(\phi(z) = 1-\phi z=0\), es decir \(z=1/\phi\), caiga fuera del círculo unidad (\(|z|>1\)).
¿Qué ocurre si \(|\phi|\geq 1\)?
-
\(\phi = 1\) (raíz unitaria):
el proceso se convierte en un paseo aleatorio; su varianza crece linealmente con \(t\) (\(\operatorname{Var}(Y_t)=t\sigma^2\)) y no existe una media de largo plazo a la que la serie regrese. No es estacionario, pero tampoco explota.
-
\(|\phi| > 1\) (proceso explosivo):
cada choque se amplifica en el periodo siguiente en lugar de atenuarse; la serie diverge exponencialmente y su varianza también, sin límite.
-
\(|\phi| < 1\) (estacionario):
cada choque se atenúa geométricamente con el tiempo (a un ritmo \(\phi^k\)); la serie fluctúa en torno a una media fija con varianza acotada.
En la práctica, aunque no podamos observar los momentos poblacionales verdaderos, podemos aproximar su comportamiento calculando la media y la varianza sobre ventanas móviles de la serie observada: si estos estadísticos muestrales cambian sistemáticamente a lo largo del tiempo, es un indicio visual claro de no estacionariedad.